Жизнь Георга Кантора

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор, создатель теории множеств, одного из величайших новых явлений в мире науки, родился в Петербурге 19 февраля ст. стиля (3 марта нов. стиля) 1845 г. Отец его Георг Вольдемар Кантор, родом из Копенгагена, прибыл в Петербург в молодости; он держал там маклерскую контору под собственным именем, иногда же под названием «Кантор и К.» Усердный и удачливый коммерсант, он достиг крупного успеха и оставил после смерти (1863 г.) весьма значительное состояние; по-видимому, он пользовался и в Петербурге, и позже в Германии высоким уважением. По болезни легких он в 1856 г. переселился с семьей в Германию; там он вскоре избрал местом пребывания Франкфурт на Майне, где жил на положении рантье. Мать Кантора, Мария, урожденная Бем, происходила из семьи, многие члены которой были одарены в разных областях искусства; влияние ее проявилось, без сомнения, в богатой фантазии сына. Дед его, Людвиг Бем, был капельмейстером; брат деда Иозеф, живший в Вене, был учителем знаменитого виолончелиста-виртуоза Иоахима; брат Марии Кантор был также музыкантом, а сестра ее Аннета имела дочь-художницу, преподававшую в Мюнхенской школе художественных ремесел. Художественная жилка заметна также у брата Георга Кантора, Константина, бывшего талантливым пианистом, и у сестры его Софии, особенно склонной к рисованию.

Одаренный мальчик, посещавший в Петербурге начальную школу, уже очень рано проявил страстное желание приступить к изучению математики. Отец его, однако, не согласился с этим, считая более обещающей в отношении заработка профессию инженера. Сын сначала подчинился; он посещал некоторое время гимназию в Висбадене,

а также частные школы во Франкфурте на Майне; затем поступил, весной 1859 г., в провинциальное реальное училище Великого герцогства Гессенского в Дармштадте, где преподавали также латынь; оттуда он перешел в 1860 г. на общий курс Высшей ремесленной школы (позже Высшей технической школы). Отец руководил его образованием, предъявляя необычно высокие требования; особую важность придавал он воспитанию энергии, твердости характера и пронизывающей всю жизнь религиозности; в частности же он подчеркивал важность полного овладения основными современными языками. Отец наставлял его (в письме по поводу конфирмации в 1860 г.) держаться твердо, вопреки всякой вражде, и всегда добиваться своего; призыв этот не раз вспоминался сыну в часы тяжелых испытаний и, возможно, именно этому отцовскому воспитанию мы обязаны тем, что творческий дух его не был преждевременно сломлен и плоды его не были потеряны для потомства.

С течением времени глубокое влечение сына к математике не могло не подействовать на отца, письма которого свидетельствуют также об его уважении к науке. В письме из Дармштадта, датированном 25 мая 1862 г. и представляющем первое сохранившееся письмо Кантора, сын мог уже выразить отцу благодарность за одобрительное отношение к его планам: «Дорогой папа! Ты можешь себе представить, как обрадовало меня твое письмо; оно определяет мое будущее. Последние дни я провел в сомнении и неуверенности; и не мог прийти ни к какому решению. Долг и влечение постоянно были в борьбе. Теперь я счастлив, видя, что не огорчу тебя, последовав в моем выборе собственной склонности. Надеюсь, дорогой отец, что сумею еще доставить тебе радость, потому что душа моя, все мое существо живет в моем призвании; человек делает то, что он хочет и может, и к чему влечет его неведомый, таинственный голос!..»

Осенью 1862 г. Кантор приступил к занятиям в Цюрихе, откуда он, впрочем, уже после первого семестра ушел вследствие смерти отца. С осени 1863 г. он изучал математику, физику и философию в Берлине, куда триумвират Куммера, Вейерштрасса и Кронеккера привлекал лучшие дарования, возбуждая умы (тогда еще довольно узкого) круга слушателей в самых различных направлениях. Лишь весенний семестр 1866 г. провел он в Геттингене. Сильнейшее влияние на его научное развитие оказал, бесспорно, Вейерштрасс. Замечательно и характерно для широты взглядов Вейерштрасса, для его непредубежденного и проницательного суждения, с каким сочувственным пониманием и как рано оценил он нетрадиционные идеи своего ученика, ответив этим на глубокое уважение, которое тот неизменно оказывал ему в течение всей жизни, вопреки преходящим размолвкам. В берлинские годы Кантор входил не только в Математическое Общество, но и в более узкий круг молодых коллег, еженедельно встречавшихся в трактире Ремеля; к этому кругу принадлежали, не считая случайных гостей, Генох (будущий издатель “Fortschritte” («Успехов»), Лампе, Мертенс, Макс Симон, Томе; последний из них был особенно близок Кантору. Далее, к его товарищам по Берлинскому университету принадлежал Г. А. Шварц, бывший на два года старше; впоследствии, впрочем, он встретил идеи Кантора с сильнейшим недоверием, в противоположность своему учителю Вайерштрассу, и до самого конца жизни особо предостерегал от них, подобно Кронеккеру, своих студентов. 14 декабря 1867 г. двадцатидвухлетний студент защитил в Берлинском университете дипломную работу, возникшую из глубокого изучения Disquisitiones arithmeticae («Исследования по арифметике») и «Теории чисел» Лежандра и оцененную факультетом как “dissertatio docta et ingeniosa” («Ученое и остроумное рассуждение») [1] ; он посвятил ее своим опекунам (одновременно опекунам его брата и сестры). На устном экзамене он получил “magna cum laude” («с особым отличием»). Из трех предложенных им для защиты тезисов особенно характерен третий: “In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi” (В математике искусство постановки вопросов важнее искусства их решения». Возможно, даже полученные им в теории множеств результаты уступают по значению революционным постановкам вопросов, столь далеко вышедшим в своем влиянии за пределы его собственных трудов.

Кажется, Кантор в течение короткого времени преподавал в Берлине в женской школе; во всяком случае, в 1868 г, он вступил, выдержав государственный экзамен, в известную семинарию Шельбаха, готовившую учителей математики.

Докторская диссертация, давшая Кантор возможность стать весной 1869 г. приват-доцентом университета в Галле, принадлежит, вместе с несколькими небольшими заметками, опубликованными в 1868-72 годах, еще к первому, арифметическому кругу его интересов, к которому он редко возвращался впоследствии [2] . Эти занятия теорией чисел под руководством и при одобрении Кронеккера, не были, впрочем, для Кантора лишь случайным эпизодом. Напротив, он испытал глубокое внутреннее воздействие этой дисциплины, с ее особой чистотой и изяществом. Об этом свидетельствует, наряду с первым, также третий представленный им к защите тезис: “Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” («Целые числа, подобно небесным телам, трактовать как единое целое, связанное законами и соотношениями»). К раннему времени, возможно уже к этому периоду, относится также установление связей между различными теоретико-числовыми функциями и дзета-функцией Римана (примыкающее к работе Римана о простых числах); эта работа была опубликована Кантором лишь в 1880 г., под влиянием заметки Липшица в парижских Comptes Rendus («Докладах»). О дальнейших теоретико-числовых интересах Кантора говорит, кроме его числовой таблицы [3] , также сохранившийся до 1884 г., но не осуществленный план опубликовать в Acta Mathematica, работу о квадратичных формах [4] .

Э. Гейне, бывший ординарным профессором в Галле в то время, когда Кантор защищал там диссертацию, сразу же понял, что в его молодом коллеге необычайная острота ума счастливо соединяется с богатейшей фантазией. Решающее значение имело то обстоятельство, что Гейне вскоре после переезда Кантора в Галле побудил его заняться теорией тригонометрических рядов. Ревностные труды над этим предметом не только завершились рядом существенных достижений, но и привели Кантора на путь к теории точечных множеств и трансфинитным порядковым числам. Работы [1] , [4] , [6] и [7] посвящены уточнению одного утверждения Римана о тригонометрических рядах (и сопутствовавшей этому полемике с Аппелем, в которой подробно рассматривалось понятие равномерной сходимости); в работе же [2] Кантор доказывает теорему о единственности тригонометрического представления [5] . Он стремится обобщить этот результат, отказываясь от каких-либо предположений о поведении ряда на некотором исключительном множестве; это вынуждает его изложить в работе [5] краткий набросок идей, «могущих быть полезными для выяснения отношений, возникающих во всех случаях, когда

заданы числовые величины в конечном или бесконечном числе Здесь для точечных множеств вводятся предельные точки и производные (конечного порядка). С этой целью Кантор, с одной стороны, развивает свою теорию иррациональных чисел [6] , вслед за теорией множеств обессмертившую его имя, где иррациональные числа рассматриваются как фундаментальные ряды. С другой стороны, для перехода к геометрии он вводит особую аксиому (аксиому Кантора), одновременно и независимо появившуюся в несколько иной формулировке в книге Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа».

С только что упомянутой работой [5] жизнь Кантора начинает выходить за рамки нормального развития талантливого ученого, в которые она вмещалась до того.

На второй период, примерно с 1871 по 1884 год, приходится величайшее напряжение сил гениального исследователя, увенчавшееся построением теории множеств.

1872-74 годы принесли с собой два значительных события в личной жизни Кантора. Во время одной из поездок в Швейцарию, нередких в его молодости, он в 1872 г. совершенно случайно знакомится в Герсау с Дедекиндом. Это знакомство привело, наряду с частыми личными встречами, впоследствии происходившими обычно в Гарцбурге, также к переписке, от которой сохранилось 38 писем за годы 1873-79 и 1899. Хотя математическое содержание этой переписки ограничено, они весьма интересны как отражение способа работы и настроения Кантора в то время, а равным образом противоположности характеров этих людей, связанных продолжительной дружбой и высоко ценивших друг друга. Пользуясь терминами Оствальда, можно назвать являющегося в этих письмах Кантopa «романтиком», в противоположность «классику» Дедекинду. Это различие проявляется также в темпе писем Кантора, которые в периоды научной бури и натиска буквально перегоняют друг друга, в то время как ответы Дедекинда отличаются неизменной пунктуальностью. Следует отметить также весьма значительную в начале переписки разницу в возрасте (Дедекинд был на 14 лет старше). В целом, Кантор играет в этой переписке роль спрашивающего и берущего. Уже в одном из первых писем он выражает свою потребность обсуждать с Дедекиндом научные вопросы и ближе познакомиться с ним лично; и в дальнейшем мы постоянно встречаем почтительную благодарность за то, что дает ему это знакомство, а также за «вдохновляющее и чрезвычайно поучительное воздействие» на него «классических трудов» Дедекинда (письмо от 31 августа 1899 г.). Впрочем, глубокое влияние Дедекинда, с его абстрактным, предпочтительно аналитическим подходом, стремящимся к завершенной систематике, еще сильнее сказывается косвенным образом - в построении позднейших публикаций Кантopa по теории множеств, сравнительно с конструктивным стилем молодого Кантора, продвигавшегося вперед отдельными бросками. Перемена эта во многом соответствует весьма выраженной противоположности тенденций в современных исследованиях по основаниям математики.

В то же время Кантор познакомился со своей будущей супругой Валли Гутман. В 1872 г. он стал экстраординарным профессором в Галле, весной 1874 г. состоялась помолвка, а летом свадьба. Во время свадебного путешествия молодожены встретились в Интерлакене с Дедекиндом. У Кантора было четыре дочери и два сына; никто из детей не проявил особой математической одаренности.

Семидесятые года принесли Кантору и различные внешние успехи. Уже в 1869 г. он стал действительным членом Общества Естествоиспытателей в Галле; особенно же следует отметить избрание в члены-корреспонденты Геттингенского Научного Общества. По-видимому, ни одна другая немецкая академия и ни один университет, кроме Галле, вообще не почтили публично его заслуги. Далее, в 1878 г. он отклонил приглашение в Мюнстерскую Академию, а в 1879 г. был назначен ординарным профессором в Галле.

Опубликованная в 1874 г. работа [10] представляет собой, наряду со средней частью статьи [5], публикацию Кантора, открывающую теорию множеств; в ней делается решительный шаг к строгому разграничению трансфинитного, особенно в отношении мощности. В наивном понятии «бесконечного» исчезали все различия, и сам Кантор вначале предполагал еще континуум счетным; в этой же статье за теоремой о счетности множества алгебраических чисел следует доказательство, что множество всех действительных чисел уже несчетно. Именно, для каждой последовательности действительных чисел Кантор строит с помощью принципа вложенных отрезков не принадлежащее ей число. Из сопоставления обоих результатов вытекает существование бесконечного множества трансцендентных чисел в любом интервале. Естественно было бы искать еще более высокие трансфинитные мощности, перейдя от одномерного континуума к многомерным. Как показывает корреспонденция Кантора с Дедекиндом, эта мысль занимала исследователя уже летом 1874 г. Насколько нужен был новый подход, чтобы вообще усмотреть здесь какую-либо проблему, видно из письма Кантора: он рассказывает, как один его друг в Берлине объявил идею об отобразимости линейного континуума на плоский «заведомо абсурдной, поскольку само собой разумеется, что две независимых переменных не сводятся к одной»; подобную же отповедь получил он позже при посещении Геттингена по случаю юбилея Гаусса в 1877 г. В письме от 20 июня 1877 г. он сообщает Дедекинду, после многолетних усилий, свою попытку построить отображение одномерного континуума на многомерный, и просит друга проверить доказательство; результат оказался для него самого в высшей степени неожиданным : “je le vois, mais je ne le crois pas” («вижу, но не верю») и, как он думал, колеблющим понятие размеренность, т. е. возможность охарактеризовать размерность числом независимых координат. В ответе Дедекинда указывается пробел в доказательстве (позже устраненный с помощью несложного приема Юлиусом Кенигом); это побудило Кантора перейти от первоначально использованных им разложений в десятичные дроби к представлениям цепными дробями. Далее, Дедекинд, защищая понятие размерности, подчеркивает значение требования, чтобы соответствие было непрерывным.

По существу, усовершенствованное доказательство, сообщенное затем в письме Дедекинду, и содержится в работе [11], где устанавливается независимость мощности континуума от его размерности. В этой работе, между прочим, вводится уже понятие эквивалентности, понятие мощности и высказывается гипотеза континуума. Здесь содержится также, без доказательства, утверждение о сравнимости мощностей; ясно, что в то время (и еще долго впоследствии) Кантор считал это свойство самоочевидным.

Опубликование этой работы в «Журнале Крелля» не обошлось без трудностей; она пролежала в редакции, после поступления 12 июля 1877 г., дольше обычного тогда срока и гораздо дольше, чем это допускало нетерпение Кантора, хотя за нее и вступился Вейерштрасс. В ноябре автор горько жаловался Дедекинду, что печатание статьи, вопреки заверениям редакции, «совершенно непостижимым для него образом» затягивается и откладывается в пользу работ, поступивших позднее; вероятно, причина заключалась в парадоксальности ее результата для того времени. К счастью, Дедекинду удалось, ссылаясь на собственный опыт, отговорить друга от опрометчивого намерения забрать рукопись и напечатать ее в виде отдельного сочинения; вскоре трудности в редакции рассеялись, и статья вышла из печати. Это была, однако, последняя публикация Кантора в «Журнале Крелля»; если даже допустить, что Кантор придал слишком серьезное значение задержке опубликования, причиной ее было уже, по-видимому, отрицательное отношение Кронеккера к идеям своего ученика, из которого впоследствии и развился кризис 1884 года. В то время как все эти обстоятельства тяжело удручали Кантора, назначение его ординарным профессором в Галле удовлетворило его лишь в ограниченной степени, потому что он стремился к другой должности и к более широкому кругу действия. Уже в 1874 г. он сознается Дедекинду: «Во время каникул я никогда не мог здесь долго выдержать, потому что единственное, что меня в течение пяти лет, некоторым образом, привязывает к Галле - это однажды избранная университетская профессия». Он предполагал, что отсутствие приглашений из других мест объясняется критической оценкой его работ влиятельными коллегами; при том почти бесспорном авторитете, которым пользовался тогда Кронеккер, это кажется вполне оправданным. Так, в 1883 г. Кантор, подавая министру прошение о месте в Берлине, не только не рассчитывал на немедленный успех, но заранее предвидел препятствия со стороны Шварца и Кронеккера; прошение не имело успеха, вызвав сильное противодействие Кронеккера.