Жизнь Георга Кантора
Шрифт:
3. Время пониженной продуктивности (1884-1897)
1884 г. видимым образом завершает второй, важнейший и плодотворнейший период в творчестве Кантора; начинается следующий период, также продолжительностью в тринадцать лет, когда его созидательная воля, хотя и не сломленная, под влиянием упомянутых обстоятельств и вызванного ими смещения интересов рождает лишь немного произведений, сравнимых по оригинальности с результатами второго периода. С другой стороны, именно в это время новые идеи все больше начинают пробивать себе путь к научной общественности.
В начале 1885 г. психический кризис у Кантора по существу преодолевается, и вновь возрождается его вера в значение собственных достижений. Далее, к его идеям примыкают в возрастающем числе другие математики (прежде всего, в 1885 г. Гарнак, Лерх, Фрагмен). Теоретико-множественная точка зрения предлагается даже для целей школьного преподавания: старший учитель городской гимназии в Галле, Фр. Майер, состоявший в близких личных отношениях с Кантором, публикует в 1885 г. второе издание своих “Elemente der Arithmetik und algebra” («Элементов арифметики и алгебры»), на которые оказали решительное влияние идеи Кантора о трансфинитном; в частности, в этой книге понятие числа вводится теоретико-множественным путем. Правда можно усомниться, произвела ли эта высоко стоящая в научном
Наряду с другими соображениями, прежде всего конфликт с Кронеккером привел его к убеждению, что для обеспечения свободы и научной независимости отдельного, в особенности начинающего исследователя в математическом сообществе и для защиты от чрезмерного влияния отдельных ученых целесообразно объединить немецких математиков в одну организацию. По его инициативе было основано Немецкое математическое объединение, которому с самого начала он был предан всей душой, никогда не уставая подчеркивать значение его для свободы научного творчества. Мы находим имя Кантора среди подписавших «гейдельбергское воззвание» 1889 года, первое публичное обращение к коллегам по случаю 62-го Съезда немецких естествоиспытателей и врачей, а также принятые в следующем году «бременские постановления» Математико-аcтрономического отдела Съезда естествоиспытателей, которыми и было учреждено Объединение. Начиная с основания Объединения (18 сентября 1890 г. Кантор был его председателем, а также соиздателем двух первых томов “Jahresbericht”, и когда осень 1893 г. он вынужден был по состоянию здоровья отказаться от председательства, в выраженной ему благодарности подчеркивалось, что именно ему принадлежит «первый почин основания Объединения, а его живое и энергичное участие привело к осуществлению этого плана» [21] .
21
Jaresbericht d. D. Mathematikerveereinigung, 1, 3–7 (1892) и 3б 8 (1894)
Отложив личную неприязнь, он пригласил Кронеккера сделать вступительный доклад на первом собрании Объединения в Галле (осенью 1891 года) [22] . Кронеккер, не будучи в состоянии принять это приглашение вследствие смерти жены, в своем ответе высказал аргументы в пользу и против этой организации; письмо его, в существенной части, было опубликовано в первом томе “Jahresbericht”. По случаю первого собрания Объединения Кантор прочел также знаменитый доклад [17], в котором упростил доказательство одного из своих теоретико-множественных результатов, что позволило теми же средствами (с помощью диагонального процесса) установить существование бесконечного числа различных трансфинитных мощностей. Это рассуждение значительно проще доказательства того же предложения с помощью числовых классов в части 5 работы [13] и избегает, сверх того, обходного пути через порядковые числа.
22
Ни это приглашение, ни тон упоминаемого ниже ответного письма Кронеккера не должны ввести нас в заблуждение по поводу характера отношений между учеными, оставшегося прежним; ср. письмо Кантора Миттаг-Лефлеру от 5 сентября 1891 г.
Более широкий план Кантора - основать международную организацию математиков потерпел неудачу; но он решительно и успешно работал над учреждением Международных математических конгрессов.
Кантор завершил свои математические публикации вышедшей в 1895-97 годах статьей [17] из двух частей. Она представляет систематическое изложение большей части его результатов по общей теории множеств и написана совсем в ином - можно сказать, классически зрелом - духе, чем его прежние работы. Мы находим здесь предназначенную для математической публики, освобожденную от критических и философских прибавлений версии работы «К учению о трансфинитном»; при этом весьма подробно излагается еще не-достававшая там теория вполне упорядоченных множеств и порядковых чисел, но первоначально задуманное применение ее к теории кардинальных чисел опущено, по-видимому, из-за отсутствия теоремы о полном упорядочении. Из «классических» теорем абстрактной теории множеств мы не обнаруживаем в [17] лишь теоремы эквивалентности, первые доказательства которой появились в то же время.
При сравнении работы [17] , одной из двух величайших и бессмертных работ Кантора, со второй из них, [13], прежде всего видно смещение центра тяжести от множеств к числам; далее значительный прогресс в смысле ясности и систематичности делает эту статью еще и сейчас ценной для преподавания.
В таком развитии чувствуется влияние Дедекинда, невольное и, возможно, не осознанное обоими. Но и в этой поздней работе заметно сохраняется дистанция, отделяющая ее от построений Дедекинда и Фреге, как в отношении самого понятия множества, так и в способе последовательного восхождения, отправляющегося от конечных множеств, и в (неоправданном по существу) ограничении
В особенности следует отметить начало статьи [17]. Здесь приводится известное определение множества, заметно отличающееся от предыдущих (ср. также часть 1 работы «К учению о трансфинитном»), а затем вводится понятие мощности в смысле только что указанной работы - как общего понятия, возникающего из множества при двойной абстракции, от природы элементов и от порядка их задания; таким образом, понятие мощности уже не определяется через эквивалентность, как в [13]. За надлежащим образом видоизмененными определениями упорядочения по величине и мощностей следует отчетливое замечание, что «сравнимость» не самоочевидна и не может быть доказана в этом месте построения; автор обещает доказать теорему о сравнимости в дальнейшем и указывает, что «теорема эквивалентности» будет вытекать из нее как следствие.
4. Старость и признание
В 1897 году завершается публикация работ 52-летнего в то время исследователя. Тогда же начинается все возрастающее признание его труда математическим миром.
Прекращение научной продукции вовсе не означает, что он перестал интенсивно заниматься теорией множеств. Применениям в теории функций действительного переменного он уделял мало внимания, более ожидая вторжения методов теории множеств в классический анализ и в теорию чисел. В центре же его интересов по-прежнему находилась проблема континуума. Об его усилиях в этом направлении, кроме волнующего эпизода в 1904 г., говорит также переписка с Дедекиндон летом 1899 г. Эти последние дошедшие до нас обрывки переписки, отделенные от предыдущих почти двадцатилетним промежутком, начинаются с утверждения Кантора, что с 1897 г. он располагает доказательством теоремы, в силу которой все мощности суть алефы. Дело заключалось в следующем.
Не позже 1895 г., т. е. за два года до публикации Бурали-Форти, Кантор сам столкнулся с так называемым парадоксом Бурали-Форти, касающимся множества всех порядковых чисел, и в 1896 г. сообщил о нем Гильберту [23] . Далее, в 1899 г. он пишет Дедекинду также о других противоречивых системах, например, о совокупности всех мощностей или всего мыслимого, и называет их «неконсистентными» (или «абсолютно бесконечными») системами. В противоположность этому, система может рассматриваться как множество, «если совокупность элементов некоторого разнообразия непротиворечивым образом мыслима как совместно существующая» [24] . Парадокс, возникающий из множества всех порядковых чисел, по мнению Кантора как раз и означает, что существуют «некоторые разнообразия, не мыслимые также в виде однообразия». Опираясь на эти не особенно ясные понятия, он утверждает далее, что эквивалентные разнообразия одновременно являются множествами или неконсистентны, и что подразнообразие множества есть снова множество. Дальше он рассуждает следующим образом. Пусть W– система всех порядковых чисел, V– разнообразие, не имеющее в качестве мощности никакого алефа; тогда легко видеть, что «вся система W проектируется в разнообразие V» т. е. V должно содержать подразнообразие, эквивалентное W; и если, таким образом, V вообще имеет определенную мощность, то она должна быть алефом. Как мало это «доказательство» удовлетворяло его самого, видно из того, что он вскоре обратился с просьбой к Дедекинду дать с помощью его теории цепей «прямое» доказательство сравнимости. Таким образом, с 1884 года до смерти Кантора нерешенная проблема континуума упорно его беспокоила, временами вызывая у него даже сомнение, состоятельна ли теория множеств как научное построение в ее нынешнем виде.
23
В письме Юнгу от 9 марта 1907 г. Кантор резко нападает на известные статьи Бурали-Форти в Rendiconti Palermo, заявляя, что тот даже не усвоил понятия вполне упорядоченного множества (см. Mathem. Gazette, №14, 101, 1929)
24
Вскоре затем Кантор уточняет употребление слова «разнообразие» в этой связи, разъясняя, что он имеет в виду «разнообразия не связанных вещей, т. е. такие разнообразия, что удаление из них произвольного элемента или многих элементов никак не влияет на существование остальных». (Отметим, как близко Кантор подошел здесь к запрещению так называемых непредикативных определений, тем самым неосознанно подвергая критике также понятие степени множества, основное для его построения теории множеств)
В перегоняющих друг друга письмах, относящихся к периоду успешной деятельности Кантора (1899 г.), содержатся и другие вещи, заслуживающие упоминания.
Так, 29 августа Дедекинд сообщает другу доказательство эквивалентности с помощью своей теории цепей, на возможность которого он уже весной 1897 г. указывал Ф. Берштейну [25] . Далее, Кантор формулирует известную альтернативу относительно возможных отношений эквивалентности между двумя множествами M и N: каждое из них либо эквивалентно некоторому подмножеству другого, либо не эквивалентно никакому из них; таким образом, имеется четыре мыслимых комбинации (одна из которых, соответствующая «несравнимости», была позже исключена в силу теоремы о полной упорядоченности). Этот метод, сейчас для нас почти самоочевидный, до тех пор не встречался в работах Кантора; по рассказу Шенфлиса [26] , письмо, в котором Кантор сообщил его в Геттинген, было там воспринято как откровение и переходило из рук в руки. Наконец, в тех же письмах Кантора утверждения о существовании множеств (т. е. консистентных разнообразий) с кардинальными числами объявляются аксиомами элементарной, соответственно, расширенной арифметики; это вполне соответствует духу впоследствии построенной Расселом теории “individuals” («индивидуумов»).
25
Доказательство Шредера (содержавшее пробел) было доложено осенью 1896 г. на Франкфуртском собрании естествоиспытателей; доказательство Бернштейна, найденное им зимой 1896/97 г., было доложено в 1897 г. на семинаре Кантора. Доказательство Дедекинда (не опубликованное) по существу совпадает с более поздним доказательством Цермело (Math. Ann., 65, 271, 1908)
26
Jahresber. d. D. Mathematikervereinigung, 101 и далее, 1922