А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Готово? А теперь я назову вам их сумму. У вас получилось число… минуточку!.. 34. Правильно? Как я отгадал» сколько у вас получилось? Может быть, я действительно умею читать ваши мысли?
Почему начерченная нами матрица заставляет вас всегда выбирать четыре числа, дающие в сумме 34? Секрет этой матрицы прост и изящен. Над каждым столбцом матрицы 4х4 выпишем числа 1, 2, 3, 4, а слева от каждой строки выпишем числа 0, 4, 8, 12;
Эти 8
Посмотрим, что произойдет, если мы выберем 4 числа в соответствии с описанной выше процедурой.
Она гарантирует, что никакие два обведенные кружками числа не окажутся в одной строке или в одном столбце, а поскольку каждое число в клетке равно сумме единственной и неповторимой пары образующих, то сумма четырех обведенных кружками чисел равна сумме 8 генераторов, которая, как нетрудно подсчитать, равна 34. Следовательно, сумма четырех выбранных чисел также должна быть равна 34.
Поняв, как устроена магическая матрица 4х4, вы без труда построите магическую матрицу любого порядка. Рассмотрим, например, приводимую ниже матрицу 6-го порядка с 12 генераторами. Они выбраны так, что числа в клетках матрицы кажутся случайными. Это еще более маскирует закон, по которому выписаны числа матрицы и придает ей еще большую таинственность.
Сумма генераторов равна 30. Как бы ни выбирали в этой матрице 6 чисел, из которых никакие 2 не стоят в одной строке и в одном столбце, их сумма неизменно будет равна 30. Разумеется, эту сумму мы можем устанавливать по желанию.
Вы можете построить, например, магическую матрицу 10х10 с суммой генераторов, равной любому числу, которое покажется вам интересным, например «номер» текущего года или число лет, исполняющихся вашему доброму знакомому. Можно ли построить магические матрицы с отрицательными числами в некоторых клетках? Разумеется, можно.
Генератором магической матрицы может быть любое число, положительное или отрицательное, рациональное или иррациональное.
А можно ли построить магическую матрицу, в которой не сумма, а произведение выбранных чисел было бы равно заданному числу? Разумеется, можно, и это открывает перед нами еще одно направление исследований. Основная схема остается прежней, но нужное число равно не сумме, а произведению генераторов.
А что, если в клетки матрицы вписывать комплексные числа? И такое возможно, но мы предоставляем читателю разобраться в этом самостоятельно. Более подробные сведения о магических матрицах вы сможете почерпнуть в главе 2 («Фокусы с матрицами») моей книги «Математические головоломки и развлечения» [8] .
8
См. сноску на с. 44, с. 23–28.
Один адвокат, скопивший немалое состояние, собрал коллекцию из 11 старинных машин, каждую из которых знатоки оценивали примерно в 25 000 долларов.
После
Половина машин должна была отойти старшему сыну, четверть — среднему и одна шестая — младшему.
Сыновья были не на шутку озадачены. Ну как можно разделить пополам 11 машин или, скажем, отделить от них четверть или одну шестую?
В разгар споров по поводу наследства мимо проезжала в своей новой спортивной машине знаменитый нумеролог миссис Зеро.
М-с Зеро. Хэлло, мальчики!
Что-то вид у вас не очень веселый. Может быть, я могу вам чем-нибудь помочь?
После того как братья объяснили миссис Зеро суть своих затруднений, она поставила свою машину рядом с 11 коллекционными машинами и выпорхнула из нее.
М-с Зеро. Сколько теперь машин перед вами?
Братья сосчитали — получилось 12 машин.
Затем миссис Зеро разделила 12 машин в соответствии с завещанием. Половину, или 6 машин, она отдала старшему сыну, четвертую часть, или 3 машины, — среднему сыну, и шестую часть, или 2 машины, — младшему сыну.
М-с 3еро. 6 плюс 3 плюс 2 — 11 машин. Одна машина лишняя, это моя машина.
Изящно впорхнув в свою машину, миссис Зеро дала газ и умчалась.
М-с Зеро. Всегда к вашим услугам, мальчики! Счет за консультацию я пришлю вам попозже.
Этот парадокс представляет собой современный вариант старинной арабской головоломки, в котором вместо лошадей речь идет о машинах. Вы можете по своему усмотрению изменять завещание старого чудака, варьируя число машин в оставшейся после него коллекции и доли наследства, причитающиеся его, сыновьям, следя лишь за тем, чтобы соблюдалось единственное условие: пополнив коллекцию еще одной машиной, сыновья получали возможность разделить наследство в соответствии с завещанием и вернуть «лишнюю» машину тому, кто любезно одолжил им ее.
Например, коллекция, оставшаяся после смерти адвоката, могла бы насчитывать 17 машин, а в завещании могло бы говориться о том, что сыновья должны получить соответственно 1/2, 1/3 и 1/9 всех машин.
Если n — число машин в коллекции, 1/а, 1/b и 1/c — доли, причитающиеся сыновьям по наследству, то парадокс возникает только в том случае, если уравнение
допускает решение в положительных целых числах.
Удастся ли вам обобщить задачу на случай большего числа наследников и машин, занимаемых для того, чтобы стал возможным раздел наследства в соответствии с завещанием?