Большая Советская Энциклопедия (МЕ)

Большая Советская Энциклопедия

А. С. Боровик-Романов.

Кривая намагничивания FeBr₂ в метамагнитном состоянии (J — намагниченность образца, Н — напряжённость внешнего магнитного поля). В поле Н ~ 40 кэ (при 4,2 К ) в FeBr₂ происходит фазовый переход 1-го рода в ферромагнитное состояние.

Метаматематика

Метаматема'тика , теория доказательств, теория доказательства, в широком смысле слова — метатеория математики, не предполагающая никаких специальных ограничений на характер используемых метатеоретических методов, на способ задания и объём исследуемой в М. «математики». Более распространённым и исторически ранним (тем более, что М. вообще была первым примером «метанауки») является следующее, более специальное понимание термина «М.», идущее от Д. Гильберта . Открытие парадоксов (антиномий ) в логике и множеств теории выдвинуло в начале 20 в. задачу перестройки оснований математики и логики на некоторой основе, исключающей появление противоречий. Программа логицизма предусматривала для этой цели «сведение» математики к логике с помощью аксиоматического метода ,

но независимо от успешности такого «сведения» для перестроенной т. о. математики (или лежащей в её основе логики) отсутствие известных и невозможность появления новых антиномий могло гарантировать только доказательство их непротиворечивости . Представители математического интуиционизма предлагали столь радикально пересмотреть содержание самого понятия «математика», чтобы повинные (и даже только подозреваемые) в появлении антиномий абстракции классической математики (как, например, абстракция актуальной бесконечности) были раз и навсегда изгнаны из неё. Выдвинутая Гильбертом концепция математического формализма , с одной стороны, отказывалась от логицистических иллюзий о возможности обоснования математики путём «сведения» её к логике, но с другой — решительно не разделяла и интуиционистского скепсиса по отношению к возможностям аксиоматического построения удовлетворительной в логическом отношении математики. Принимая значительную часть интуиционистской критики по адресу традиционной классической математики, Гильберт в то же время решил «реабилитировать» аксиоматическую установку: «Ничто не может изгнать нас из рая, который создал нам Кантор», — говорил он. Для этого прежде всего нужна была последовательная формализация подлежащих обоснованию математических теорий (аксиоматической теории множеств , аксиоматической арифметики), т. е. представление их в виде исчислений (формальных систем ), для которых «чисто формально» следует определить понятия аксиомы (формулы некоторого специального вида), вывода (последовательности формул, каждая из которых получается из предыдущих по строго фиксированным правилам вывода), доказательства (вывода из аксиом) и теоремы (формулы, являющейся заключительной формулой некоторого доказательства), чтобы затем, пользуясь некоторыми «совершенно объективными» и «стопроцентно надёжными» содержательными методами рассуждений, показать недоказуемость в данной формальной теории противоречия (т. е. невозможность ситуации, при которой её теоремами оказывалась бы какая-либо формула и её отрицание). Совокупность таких «объективных» и «надёжных» (во всяком случае, неуязвимых со стороны интуиционистского критицизма) методов и должна была составить М. (теорию математического доказательства). Комплекс ограничений, налагаемых на допустимые в М. методы, Гильберт охарактеризовал как финитизм: в ещё более радикальной форме, нежели интуиционизм, эта «финитная установка» запрещает использование каких бы то ни было «метафизических» ссылок на бесконечные («инфинитные») совокупности. Ограничениям этим не удовлетворяют, например, такие важные метатеоретические результаты, как теорема К. Гёделя о полноте исчисления предикатов и теорема Л. Лёвенхейма — Т. Сколема об интерпретируемости любой непротиворечивой теории на области натуральных чисел, поскольку используемое в них понятие общезначимости формулы исчисления предикатов определяется с помощью «нефинитного» представления о «совокупности всех возможных интерпретаций» (поэтому эти метатеоремы, строго говоря, не принадлежат к М., в связи с чем их часто относят к металогике или к т. н. теоретико-множественной логике предикатов). Однако (мета) теоремы о непротиворечивости исчисления высказываний и исчисления предикатов удалось получить в русле «финитной установки», т. е. строго метаматематическим путём. И всё же гильбертовская программа в её полном виде оказалась неосуществимой: Гёдель (1931) показал, что никакая непротиворечивая формализация математики не может охватить всей классической математики (и даже всей формальной арифметики) — в ней непременно найдутся т. н. неразрешимые, т. е. выразимые на её языке, но не доказуемые и не опровержимые её средствами (хотя и содержательно истинные) формулы. Примером такой формулы является формула, утверждающая свою собственную недоказуемость; задать формулу со столь парадоксальной на вид интерпретацией Гёделю удалось с помощью придуманного им остроумного приёма — своего рода арифметического кодирования («гёделевской нумерации») символов, формул и последовательностей формул формальной системы, однозначно приписывающего каждому элементу системы «гёделевский номер». Благодаря такой «арифметизации синтаксиса» Гёделю удалось представить не только предикаты рассматриваемой формальной системы, но и относящиеся к ней метаматематические предикаты («быть формулой», «быть доказательством», «быть теоремой» и т.п.) посредством некоторых арифметических предикатов. Утверждение этой т. н. первой теоремы Гёделя доказывается теперь с помощью рассуждения, чрезвычайно близкого к т. н. парадоксу Ришара и вообще к парадоксам типа «Лжеца» («я лгу») и вариантам антиномии Б. Рассела («брадобрей, бреющий всех тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами» и т.п.). В качестве следствия из этой теоремы получается вторая теорема Гёделя, согласно которой непротиворечивость любой непротиворечивой формальной системы, содержащей арифметику натуральных чисел, не может быть доказана средствами, формализуемыми в этой системе. В этих теоремах Гёделя говорится, т. о., не только о свойствах рассматриваемой формальной системы, но и о некоторых метаматематических свойствах, так что они являются даже не метатеоремами, а, строго говоря, метаметатеоремами. Из них вытекает неосуществимость «финитистской» программы Гильберта: не только вся математика, но даже арифметика натуральных чисел не допускают формализации, которая была бы одновременно полной и непротиворечивой; к тому же весь аппарат финитизма выразим средствами интуиционистской арифметики, из чего, в силу второй теоремы Гёделя, следует невозможность финитистского доказательства непротиворечивости арифметики. (Ещё один фундаментальный результат М. — т. н. теорема А. Чёрча о неразрешимости арифметики и исчисления предикатов, согласно которой не существует алгоритма распознавания доказуемости для формул соответствующих исчислений.)

В некотором смысле теоремы Гёделя можно было воспринимать как «конец М.», но, свидетельствуя об ограниченности финитизма, формализма и связанной с ними гильбертовской программы, а также аксиоматического метода в целом, эти теоремы в то же время послужили мощным стимулом поиска средств доказательств (в частности, доказательств непротиворечивости) более сильных, чем финитные, но и в определённом смысле конструктивных. Одним из таких методов явилась т. н. трансфинитная индукция до первого недостижимого конструктивного трансфинита; этот путь позволил получить доказательство непротиворечивости арифметики (Г. Генцен, В. Аккерман, П. С. Новиков, К. Шютте, П. Лоренцен и др.). Др. примером может служить т. н. ультраинтуиционистская программа обоснования математики, позволившая получить абсолютное (не пользующееся редукцией к какой-либо др. системе) доказательство непротиворечивости теоретико-множественной системы аксиом Цермело — Френкеля.

Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.—Л., 1948, добавл. 6—10; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; его же, Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969, гл. 2—3; Генцен Г., Непротиворечивость чистой теории чисел, пер. с нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967, с. 77—153; Нагель Э., Ньюмен Дж., Теорема Гёделя, пер. с англ., М., 1970; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; G"odel K., "Uber formal unent scheidbare S"atze der Principia Mathematica und verwander System. I, «Monatshefte Mathematic Physik», 1931, Bd 38, S. 173—98; Rosser

В., Extensions of some theorems of G"odel and Church, «Journal Symbolic Logic», 1936, v. 1, № 3; Tarski A., Logic, semantics, metamathematics, Oxf., 1956.

Ю. А. Гастев.

Метамерия (биол.)

Метамери'я (от мета... и греч. m'eros — часть, доля), сегментация, расчленение тела многих двусторонне-симметричных животных на повторяющиеся более или менее сходные части — метамеры (сегменты), расположенные последовательно вдоль продольной оси тела. Для паразитических ленточных червей характерна М. в форме стробиляции — тело лентеца состоит из одинаковых по строению члеников — проглоттид, почкующихся в головном конце (в области шейки) паразита и образующих цепочку — стробилу. М. может быть только наружной (псевдометамерия) или затрагивать и внутренние органы (истинная М.). Истинная М. бывает полной, когда она охватывает весь организм, и неполной, когда она распространяется лишь на некоторые системы его органов, например дерматомеры (кожные метамеры), миомеры (мышечные), склеромеры (скелетные), нейромеры (нервные метамеры).

Различают гомономную М., когда все метамеры тела сходны по строению, выполняют одинаковые функции и несут одинаковые конечности, и гетерономную М., когда метамеры, сохраняющие в основном общий план строения, в разных направлениях дифференцируются и внешне становятся несходными, несут разные конечности или частично теряют их (см. рис. ). Полная М. свойственна кольчатым червям и членистоногим (у последних метамеры, сливаясь в комплексы, образуют голову, грудь, брюшко). У хордовых животных М. проявляется в строении скелета, а также мускулатуры, нервной системы, кожных образований, кровеносной системы, органов выделения и т.д. У большинства позвоночных животных и у человека М. отчётливо выражена на ранних стадиях зародышевого развития. У взрослого человека черты М. сохранились в скелете позвоночника, в спинномозговых рефлекторных центрах и корешках спинномозговых нервов, а также в правильном чередовании рёбер, межрёберных мышц и нервов.

Б. С. Матвеев.

Метамерия: слева — гомономная (у многощетинкового кольчатого червя); справа — гетерономная (у скорпиона).

Метамерия (в химии)

Метамери'я в химии, частный случай изомерии , связанный с положением гетероатома в цепи алифатических соединений. Метамерны, например, метилпропиловый эфир CH₃ OCH₂ CH₂ CH₃ и диэтиловый эфир CH₃ CH₂ OCH₂ CH₃ . Термин «М.» предложен И. Берцелиусом в 1830 и в настоящее время практически не применяется.

Метамиктные минералы

Метами'ктные минера'лы (от греч. metamikt'os — смешанный), группа минералов, вещество которых при сохранении внешнего облика кристалла переходит полностью или частично из структурно-упорядоченного кристаллического в особое агрегатное состояние, подобное твёрдым коллоидам. Этот переход сопровождается разупорядочением или распадом структуры, поглощением энергии и связан с воздействием радиоактивного распада U и Th, находящихся в составе М. м. При нагревании М. м. в интервале 400—800 °С (иногда до 1000 °С) вещество их снова переходит в упорядоченный кристаллический агрегат со свойствами первоначального кристаллического минерала. Полагают, что при метамиктном переходе атомы кристаллической решётки смещаются в результате энергетического воздействия радиоактивного распада из идеального положения до потери решётки, но с сохранением «памяти» о ней. Нагревание возвращает атомы в их нормальное положение в кристаллической решётке. Метамиктный распад обнаруживается у минералов, кристаллохимическая структура которых определяется сочетанием слабых по связям катионных и анионных групп (Zr, Th, U, TR и др. с Si, Nb, Ta, Ti и др.). Метамиктное состояние наблюдалось у минералов: циркона, торита, ортита, гадолинита, а также у пирохлора, самарскита, эвксенита и др. ниобо-танталатов. Обычно метамиктный распад сопровождается сорбцией воды и ряда др. веществ из окружающей среды.

Метаморфизм горных пород

Метаморфи'зм го'рных поро'д (от греч. metamorpho'omai — подвергаюсь превращению, преображаюсь), существенные изменения текстуры, структуры, минерального и химического состава горных пород в земной коре и мантии под воздействием глубинных флюидов (летучих компонентов), температуры и давления. Термин «М. г. п.» ввёл английский геолог Ч. Лайель в 1883. М. г. п. происходит в кристаллическом (твёрдом или пластическом) состоянии без расплавления пород (к нему не относятся приповерхностные процессы уплотнения, цементации и диагенеза осадков, а также выветривание) и всегда связан с тектоническими дислокациями (складчатостью, глубинными разломами), а иногда и подъёмом магматических масс. Дислокации, проникая в глубинные зоны Земли, стимулируют образование восходящих потоков флюидов и повышение температуры, что приводит к развитию магматизма, М. г. п. и образованию эндогенных месторождений. Все эти явления генетически связаны, отражая восходящую миграцию вещества в ходе эволюции земной коры. Факторами М. г. п., определяющими минеральный состав метаморфических пород, являются температура (T), литостатическое давление (P_s ), определяемое глубиной развития метаморфизма и иногда парциальные давления или химические потенциалы газов, входящих в состав флюидов: H₂ O, H₂ , CO₂ , CO, CH₄ , H₂ S, Cl₂ , F₂ и др. В отношении этих факторов (главным образом T, P_s , P_H2O ) выделяются области устойчивости главнейших минералов метаморфических пород (фации метаморфизма ), что лежит в основе разделения всех метаморфических пород и изучения степени метаморфизма. Одностороннее давление (стресс) не является фактором М. г. п., т.к. оно не приводит к образованию новых минералов. В то же время оно влияет на текстуры метаморфических пород, повышает проницаемость пород для флюидов и оказывает каталитическое действие на метаморфические реакции.

М. г. п. с изменением только содержания летучих компонентов (H₂ O, CO₂ , O₂ ) условно называется изохимическим, а связанный с изменением содержания др. компонентов (K₂ O, Na₂ O, CaO и др.) — аллохимическим; при интенсивных локальных изменениях химического состава пород, при которых часть компонентов переходит во вполне подвижное состояние (см. Минералогическое правило фаз ), М. г. п. называется метасоматизмом. Степень изменения химического состава исходных пород нарастает в ряду процессов: изохимический метаморфизм — аллохимический метаморфизм — метасоматизм.

М. г. п. может охватывать огромные объёмы пород (региональный метаморфизм горных пород ) или проявляться локально, приурочиваясь к контактам с изверженными породами (контактный метаморфизм ) или к разломам (приразломный метаморфизм).

В истории геосинклинального развития выделяется ранний («догранитный») М. г. п. натриевого характера (образование спилитов, альбит-хлоритовых и глаукофановых сланцев, эклогитов и др.) и М. г. п., связанный со становлением плагиогранитов (плагиомигматиты, плагиогнейсы, альбитовые слюдяные сланцы и др.) или нормальных калиевых гранитов (мигматиты, гнейсы, слюдяные сланцы, филлиты и др.). Натриевый характер метаморфизма раннегеосинклинального развития в ходе эволюции метаморфических поясов изменяется в направлении усиления роли калия в метаморфизующих растворах. В глубинных зонах М. г. п. нередко совмещается с областями регионального развития гранитоидного магматизма.