Брайан Грин. Ткань космоса: Пространство, время и структура реальности

Грин Брайан

Мы уже сталкивались с одной формой, которая отвечает всем требованиям. Сферическая форма воздушного шара оказалась ключевой составляющей к установлению симметрии между Линкольнами на монетках на раздувающейся поверхности, также и трехмерная версия этой формы, так называемая 3-сфера, является одним из кандидатов на форму пространства. Но это не единственная форма, которая дает полную симметрию. Продолжая по причине более легкой визуализации двумерные модели, представим бесконечно широкий и бесконечно длинный резиновый лист – такой, который полностью неискривлен, – с равномерно распределенными монетками, наклееными на его поверхность. Если весь лист расширяется, то опять имеется полная пространственная симметрия и полное соответствие открытию Хаббла; каждый Линкольн видит, что каждый другой Линкольн удаляется со скоростью, пропорциональной расстоянию до него, как показано на Рис. 8.4. Поэтому трехмерная версия этой формы, подобная бесконечно протяженному кубу из прозрачной резины с галактиками, равномерно разбросанными по его внутренности,

является другой возможной формой для пространства. (Если вы предпочитаете кулинарные аналогии, подумайте о бесконечно большой версии посыпанного маком пирога, упоминавшегося ранее, одной из форм, аналогичных кубу, но продолжающейся бесконечно и с рассыпанным маком, играющим роль галактик. Когда пирог печется, тесто расширяется, заставляя каждое маковое зерно удаляться от других). Эта форма называется плоским пространством, поскольку, в отличие от сферического примера, она не имеет кривизны (понятие "плоский", которое используют математики и физики, однако, отличается от разговорного понятия "расплющенного в блин" [11] ).

11. Для анализа геометрической формы математики и физики используют количественный подход к кривизне, разработанный в девятнадцатом столетии, который сегодня является частью математической области знаний, известной как дифференциальная геометрия. Один неформальный способ размышления об измерении кривизны заключается в изучении треугольников, нарисованных на или внутри изучаемой области. Если сумма углов треугольника равна 180 градусов, как это будет, когда он нарисован на плоской столешнице, мы говорим, что область плоская. Но если сумма углов больше или меньше 180 градусов, как это будет, когда треугольник нарисован на поверхности сферы (направленное наружу выдувание сферы из плоскости заставит сумму углов превысить 180 градусов) или на поверхности седла (вдавливание седловой поверхности внутрь из плоскости заставит сумму углов быть меньше 180 градусов), мы говорим, что поверхность кривая. Это показано на Рис. 8.6.

Одна чудесная мысль относительно как сферической, так и бесконечной плоской формы заключается в том, что вы можете бесконечно идти по ней и никогда не достигнете края или границы. Это привлекательно, поскольку позволяет нам избежать тяжелых вопросов: Что находится за краем пространства?

(а) (b)

Рис 8.4 (а) Вид от любой монетки на бесконечном плоском листе является тем же самым, как и вид от любой другой монетки, (b) Чем дальше друг от друга удалены две монетки на Рис. 8.4а, тем больше будет увеличение расстояния между ними, когда плоскость расширяется.

Что произойдет, если вы дойдете до границы пространства? Если пространство не имеет краев или границ, вопрос не имеет смысла. Но отметим, что две формы обеспечивают это дополнительное условие различным способом. Если вы идете прямо вперед в пространстве сферической формы, вы найдете, подобно Магеллану, что рано или поздно вы вернетесь в стартовую точку, никогда не столкнувшись с краем. В отличие от этого, если вы идете прямо вперед в бесконечном плоском пространстве, вы найдете, что подобно Энерджайзеру Банни, вы можете идти и идти, опять таки, никогда не столкнувшись с краем, но также никогда и не возвратившись в место, откуда вы начали путешествие. Хотя это может показаться фундаментальным отличием между геометрией искривленной и плоской формы, имеется простое изменение плоского пространства, которое поразительным образом похоже в этом смысле на сферу.

Чтобы проиллюстрировать это, подумаем об одной из тех видеоигр, в которых экран кажется имеющим края, но на самом деле их не имеет, поскольку вы не можете реально выпасть из экрана: если вы выдвигаетесь за правый край, вы снова появляетесь на левом; если вы выдвигаетесь за верхний край, вы снова появляетесь на нижнем. Экран "зациклен" путем идентификации верхнего края с нижним, а левого с правым, и, таким образом, форма плоская (неискривленная) и имеет конечный размер, но не имеет краев.

Рис 8.5 (а) Экран видеоигры плоский (в смысле "неискривленный") и имеет конечный размер, но не содержит краев или границ, поскольку он "зациклен". Математически такая форма называется двумерным тором. (b) Трехмерная версия той же формы, называемая трехмерным тором, также плоская (в смысле неискривленная) и имеет конечный объем, а также не имеет краев или границ, поскольку зациклена. Если вы проходите через одну сторону, вы входите через противоположную сторону.

Математически эта форма называется двумерным тором, она проиллюстрирована на Рис. 8.5а. [12] Трехмерная версия этой формы – трехмерный тор – обеспечивает другую возможную

форму для ткани космоса. Вы можете представить себе эту форму как гигантский куб, который зациклен вдоль всех трех осей: когда вы идете через потолок, вы снова появляетесь со дна, когда вы идете через заднюю стенку куба, вы снова плявляетесь на фронтальной, когда вы идете через левую сторону, вы снова появляетесь с правой, как показано на Рис. 8.5b. Такая форма плоская, – еще раз, в том смысле, что не искривленная, а не в том смысле, что подобная блину, – трехмерная, конечная по всем направлениям и все еще не имеющая краев и границ.

12. Если вы склеили противоположные вертикальные края тора-экрана вместе (что есть основания сделать, поскольку они отождествлены – когда вы проходите через один край, вы немедленно возникаете на другом, – вы получите цилиндр. И затем, если вы сделали то же самое с верхним и нижним краями (которые теперь будут иметь форму окружностей), вы получите форму пончика (бублика). Таким образом, пончик есть другой способ размышления о торе или представления тора. Одно усложнение этого представления заключается в том, что пончик больше не выглядит плоским! Однако, это на самом деле так. Используя понятие кривизны, данное в предыдущем комментарии, вы найдете, что все треугольники, нарисованные на поверхности пончика имеют углы, чья сумма равна 180 градусов. Факт, что пончик выглядит кривым, является ложным изображением того, как мы вставили двумерную поверхность в наш трехмерный мир. По этой причине в текущем контексте более удобно использовать явно неискривленные представления двух- и трехмерных торов, как это обсуждается в тексте.

Помимо этих возможностей, все еще имеется другая форма, согласующаяся с объяснением открытия Хаббла через симметрично расширяющееся пространство. Хотя это тяжело изобразить в трех измерениях, как и в сферическом примере имеется хорошая двумерная модель: бесконечная версия картофельного чипса Принглс. Эта форма, часто обозначаемая как седловина, является разновидностью вселенной на сфере: в то время как сфера симметрично раздувается наружу, седловина симметрично сжимается внутрь, как показано на Рис. 8.6. Используя немного математической терминологии, скажем, что сфера имеет положительную кривизну (выдавливается наружу от плоскости), седловина имеет отрицательную кривизну (сжимается внутрь от плоскости), а плоское пространство, – как бесконечное, так и конечное, – не имеет кривизны (не выдавливается и не сжимается).*

(*)"Точно так же, как экран видеоигры дает версию плоского пространства конечного размера, которая не имеет краев или границ, имеются версии седловой формы конечного размера, которые также не имеют краев или границ. Я не хочу обсуждать это далее, запомним лишь, что это подразумевает, что все три возможные кривизны (положительная, нулевая и отрицательная) могут быто реализованы в формах конечного размера без краев или границ. (Тогда, в принципе, космический Магеллан смог бы осуществить космическую версию своего путешествия во вселенной, чья кривизна задана любой из трех возможностей)."

Исследователи доказали, что этот список – однородно положительная, отрицательная или нулевая – исчерпывает возможные виды кривизны для пространства, которое соответствует требованию симметрии между всеми положениями и всеми направлениями. И это по-настоящему великолепно. Мы говорим о форме всей вселенной, для которой имеется бесконечное число возможностей в чем-либо. Однако, призвав безмерную силу симметрии, исследователи оказались в состоянии резко уменьшить возможности. Так что, если вы позволяете симметрии руководить вашим ответом, и ваш полуночный интервьюер подарит вам целую горсть гипотез, вы будете в состоянии принять его вызов. [13]

13. Отметим, что мы потеряли в различении концепций формы и кривизны. Имеются три типа кривизны для полностью симметричного пространства: положительная, нулевая и отрицательная. Но две поверхности могут иметь одинаковую кривизну и все же не быть идентичными, простейшим примером является плоский видеоэкран и плоская бесконечная столешница. Таким образом, симметрия позволяет нам свести кривизну пространства к трем возможностям, но имеются в некотором смысле больше чем три формы пространства (отличающиеся тем, что математики называют глобальными свойствами), которые проявляют эти три кривизны.

Рис 8.6 Использование двумерной аналогии для пространств, где имеются три типа кривизны, которые полностью симметричны – то есть, кривизны, в которых вид из любой точки одинаков с видом из любой другой. Это (а) положительная кривизна, которая однородно раздувается вовне, как на сфере; (b) нулевая кривизна, которая совсем не раздувается, как на бесконечной плоскости или конечном экране видеоигры; (c) отрицательная кривизна, которая однородно сжимается внутрь, как на седловине.