До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Коллектив авторов

КРИВЫЕ И ПЕРЕДАЧИ

В 1754 году Эйлер опубликовал в Берлинской академии несколько записок о зубчатых колесах. В 1765 году, между берлинским периодом и возвращением в Россию, он вернулся к этой теме в Supplementum de figura dentium rotarum. В этом сочинении говорилось о форме зубьев вращающегося зубчатого колеса. На рисунке 1 изображено колесо с треугольными зубьями, но простых треугольников недостаточно. Профиль зубьев имеет важнейшее значение, и на рисунке 2, сделанном по работам Эйлера, мы видим идеальные зубья, образованные эвольвентой окружности. Она получается, если нарисовать

траекторию конца веревки, обвязанной вокруг окружности, при ее разматывании. У зубьев общая касательная, и колесо не вибрирует, энергия не тратится на шум,

РИС. 1

РИС . 2

и затраты становятся минимальными. Эйлер был первым ученым, исследовавшим область эвольвентного зацепления, а его идеи привели к созданию уравнений Эйлера — Са- вари, которые используются в этой области и сегодня.

РИС.3

Рисунок зубьев пилы, созданный в соответствии с исследовании- ми Эйлера.

Зубья пилы

Помимо шестеренок, Эйлер также интересовался зубьями пилы (рисунок 3) и в 1756 году написал по этому вопросу статью на 25 страницах. В ней содержатся формулы, в которых учитывается количество зубьев, угол их наклона, степень входа зуба в дерево и так далее. Некоторые его выводы сегодня повергают в изумление: Эйлер рекомендовал использовать пилы длиной 1,2 метра и пилить целыми группами пильщиков.

Третьим и самым важным событием, оказавшим влияние на Эйлера в этот период, стала смерть его жены Катерины в 1773 году, после почти 40 лет брака. Ученый женился повторно — на своей свояченице Абигайл. Несмотря на все жизненные удары, он продолжал публиковать новые работы в прежнем ритме. Хотя в прошлом он уже внес значимый вклад в теорию чисел своими работами о математических константах или о числах Ферма, историки единогласно утверждают, что большая часть открытий была сделана Эйлером именно в последние годы жизни. Нельзя не подчеркнуть также, что только этих его достижений в данной области — не очень популярной в то время — хватило бы, чтобы оставить в веках имя любого математика.

ЭЙЛЕР И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Эйлер уже в 1735 году внес большой вклад в изучение диофан- товых уравнений, являющихся центральной частью теории чисел. Диофантово уравнение — это уравнение с целыми коэффициентами, для которого возможны только целые решения. Такое название происходит от имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который первым занялся их изучением.

Эйлер также попал под их очарование; большая часть его работ по теории чисел состоит в решении задач, оставшихся в наследство от Ферма, а того необычайно привлекал Диофант и область его научных занятий. Но время сбора урожая еще не пришло: Эйлеру не хватало многих мощных инструментов, чтобы начать систематическое изучение диофантовых уравнений, таких как алгебраическая геометрия и эллиптические интегралы, которые только начали появляться. И хотя Эйлер измерил границы царства Диофанта, он не смог его завоевать. Самым знаменитым доказательством в этой области,

наверное, может считаться частичное доказательство теоремы Ферма, которое получил Эйлер. Согласно ей, невозможно было решить диофантово уравнение хn + уn - zn при n >= 3. Эйлер доказал, что это так при n = 3. Считается, что в доказательстве, которое он нашел уже в 1735 году, была ошибка, но впоследствии Эйлер сам ее исправил. Также при изучении другой категории чисел он подтвердил рассуждения для п - 4, уже выведенные Ферма. Универсальное решение для любого значения п появилось только в конце XX века благодаря Эндрю Уайлсу.

Эйлер также заинтересовался уравнением Пелля — дио- фантовым уравнением вида

у² = Ах² + 1,

где А — определенное число, а не неизвестная. Это уравнение решил Лагранж, который развил и расширил метод непрерывных дробей, проанализированный Эйлером. Современное название уравнения происходит от ошибки самого Эйлера, который перепутал Джона Пелля (1611-1685) с математиком

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Диофант Александрийский (ок. 200 — ок. 284) известен как создатель диофантовых уравнений. Сегодня так называют уравнения с одной или более неизвестными, в которых все коэффициенты являются целыми числами и в качестве решений допускаются целые числа, хотя Диофант допускал и рациональные. Предполагается, что Диофант прожил 84 года, поскольку имеется эпитафия, в которой упоминается его возраст.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей, и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей*.

^* Перевод С. Н. Боброва.

Если мы размотаем этот клубок ребусов и запишем диофантово уравнение, скрывающееся в этом тексте, то получим

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x, и решение ч = 84

Диофант и Ферма

Еще одной причиной известности Диофанта стала история создания теоремы Ферма. Вкратце она выглядит так: во времена Ферма были опубликованы почти все труды Диофанта из тех немногих, что дошли до наших дней. Читая книги, Ферма обычно писал свои комментарии на полях. Одно из предложений Диофанта, приведенных в тексте, натолкнуло Ферма на размышления и вдохновило его на создание теоремы, позже названной Великой теоремой Ферма. Она абсолютно безобидна с виду и кажется довольно простой. Ферма утверждал, что нашел для нее превосходное доказательство, которое не смог записать, поскольку на полях книги не хватило места; по крайней мере, такую версию распространил сын ученого. Тем не менее найти доказательство никому не удавалось до конца XX века (это сделал Эндрю Уайлс в 1995 году). Диофант написал 11 книг по арифметике, из которых до наших дней дошло только шесть (есть еще четыре, авторство которых не установлено). В них содержится более 100 задач, приводящих к диофантовым уравнениям, но в их решениях нет и следа математического метода, а только лишь проявление необыкновенного гения ученого.