До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Коллектив авторов

1 + 2² + З² + 4² + ... + k²

1 + 2³ + З³ + 4³ + ... + k³

1 + 2⁴ + З⁴ + 4⁴ + ... + k⁴

1 + 2⁵ + З⁵ + 4⁵ + ... + k⁵,

или, говоря языком Эйлера, вычислении сумм

Мы

имеем

где В_i — числа Бернулли. Чтобы пояснить предыдущую формулу, приведем простой пример — сумму квадратов простых чисел. Применив формулу при р - 2, получим

1²+2² + ... + n² = 1/3(B₀n³ + 3B₁n² + 3B₂n¹) = 1/3(n³ + 1/2n² + 1/2n).

Эйлер вычислил первые 30 чисел Бернулли. Это грандиозная задача, учитывая, что 30-е число выглядит так:

8615841276005/14322.

Наконец, числа Бернулли появляются в выражении, которое Эйлер вывел для (2n) в ходе дальнейших исследований после решения Базельской задачи. Оно выглядит так:

(2n) = (-1)ⁿ⁺¹(2)²ⁿB_2n/2(2n)!.

Числа Бернулли используются в современной записи формулы суммирования Эйлера — Маклорена, хотя сам Эйлер их не заметил, когда применил формулу, чтобы приблизительно сосчитать значение

и найти первые шесть его цифр.

ЭЙЛЕР И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Эйлеру не удалось разгадать все тайны простых чисел, тем не менее он выполнил много исследований на эту тему, а также на другие, тесно с ней связанные, такие как функция Эйлера , числа Мерсенна или квадратичный закон взаимности.

До сих пор математики напрасно пытались открыть порядок в последовательности простых чисел, и мы имеем все основания предполагать, что речь о идет о тайне, которую человеческий разум никогда не раскроет.

Эйлер

В работе Variae observationes circa series infinites ("Различные замечания о бесконечных рядах"), опубликованной в 1744 году, Эйлер применил формулу, ставшую одной из самых известных в области простых чисел, — произведение Эйлера, которое мы подробно рассмотрим в приложении 3.

При s = 1 слева возникает гармонический ряд, стремящийся к бесконечности. Следовательно, к ней должен стремиться и результат справа. Но если это так, то произведение не может быть конечным. Следовательно, оно бесконечно, и поскольку в каждом множителе есть простые числа, то, следовательно, их существует бесконечно много. Так Эйлер нашел еще одно доказательство

бесконечности простых чисел. Однако ученый хотел заглянуть еще глубже и найти плотность простых чисел. Мы знаем, что они бесконечны, но насколько плотно они расположены? Эйлер доказал, что ряд, ограниченный только простыми членами,

то есть аналог гармонического ряда

также расходится. Кроме того, несмотря на то что гармонический ряд расходится приблизительно как логарифм л, ряд обратных простых чисел расходится еще медленнее, как логарифм логарифма n.

Идеи Эйлера, считающегося изобретателем методов анализа в теории чисел, были развиты вначале Лежандром, а затем Гауссом, отцами теоремы о распределении простых чисел, которая гласит:

(x = x/Inx

где (x) — число простых чисел, меньших х. Эта теорема была доказана независимо друг от друга математиками Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном (1866-1962) и Жаком Адамаром (1865-1963) в 1896 году. Бернхард Риман расширил идеи Эйлера до области комплексных чисел С, применив к ней дзета- функцию (мы говорили о ней в главе 2), которую сам Эйлер рассматривал только в области вещественных чисел R. Затем был совершен переход к так называемой аналитической теории чисел, а позже — к оставшейся недоказанной гипотезе Римана.

ФУНКЦИЯ

В арифметике существует понятие не только простого числа, но и взаимно простых чисел. Целые положительные числа р и q являются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1. Например, 14 и 15 — взаимно простые, поскольку, даже если ни одно из них не является простым само по себе, у них нет общего делителя, кроме 1:

14-2-7

15-3-5.

То же самое можно выразить более современным способом, используя понятие наибольшего общего делителя (НОД). Сказать, что p и q являются взаимно простыми, — равноценно тому, что их НОД - 1.Функция, которую Эйлер называл (n), определяется как количество взаимно простых чисел, меньших п и взаимно простых с ним. Возьмем для примера числа от 1 до 10:

(1) = 1

(2) = 1

(3) = 2

(4) = 2

(5) = 4

(6) = 2

(7) = 6

(8) = 4

(9) = 6

(10) = 4.

Функция (n) называется индикаторной функцией; это не просто довольно интересная арифметическая игрушка, а инструмент, который можно широко использовать; она встречается в одной из самых важных теорем теории чисел — так называемой малой теореме Ферма. Как ни странно, вопреки тому, что Эйлер обычно сам вводил математические обозначения в своих работах, знак функции <р принадлежит не ему. Он доказал, что если р ид взаимно простые, то

(pq) = (p)(q)·

К тому же, если р — простое число, то (р) = р-1. Эйлеру же принадлежит следующий результат (хотя к нему подошли и раньше): если p и q — взаимно простые числа, то верна так называемая малая теорема Ферма:

p^(q) 1 mod q,

где mod q — модуль q и означает, что p(q) и 1 имеют одинаковый остаток при делении на q. Эта теорема была доказана Эйлером в 1736 году, в Theorematum Quorundam ad Num'eros Primos Spectantium Demonstratio ("Доказательство некоторых теорем о простых числах"), и в прошлом имела сжатую форму, которую придал ей сам Ферма. Если мы предположим, что q простое число, то (q) = q - 1. и мы получим оригинальную запись Ферма: