До предела чисел. Эйлер. Математический анализ

Коллектив авторов

Важным аспектом логарифма является то, что с его помощью упрощаются арифметические вычисления. Например:

₁ · ₂ = a^L₁ · a^L₂ = a^L₁+L₂

=> log_a(N₁ · N₂) = L₁ + L₂ = log_aN₁ + log_aN₂.

Таким образом, логарифм произведения

равен сумме логарифмов его множителей.

Если мы сделаем таблицу с двумя величинами, числами и десятичными логарифмами, то сможем сложить логарифмы и при помощи таблиц легко узнать произведение. И хотя сегодня можно без труда произвести умножение электронными калькуляторами, во времена, когда они еще не существовали, операция, помогающая заменить сложные расчеты в случаях произведений больших величин на простое сложение, имела огромное практическое значение.

2. БАЗЕЛЬСКАЯ ЗАДАЧА

Проследим за хитроумными рассуждениями Эйлера, но не будем забывать, что в некоторых местах они должны быть доработаны. Позже это сделал сам ученый. Возьмем знаменитый ряд Тейлора:

sinx = x - x³/3! + x⁵/5!
– x⁷/7! + ...

Мы знаем, что он равен нулю при х равном нулю, то есть если sinx = 0, когда х = 0, ± , ±2, ±3...

Следовательно, предположив, что ряд ведет себя как многочлен, поскольку он и является длиннейшим многочленом, применение фундаментальной теоремы алгебры преобразит его в произведение одночленов вида х - , где — решение. Продолжим:

x - x³/3! + x⁵/5!
– x⁷/7! + ... = K(x)(x - )(x + )(x - 2)(x + 2)...

К — неизвестная константа. Производя вычисления в правой части равенства:

x - x³/3! + x⁵/5!
– x⁷/7! + ... = K(x)(x²– ²)(x²– 4²)(x - 9²)...

следует отметить, что каждый член вида х²– ²² справа равен нулю. А это происходит, только если

1 - х²/(²²) = 0.

Запишем члены правого выражения в следующей форме:

x - x³/3! + x⁵/5!
– x⁷/7! + ... = K(x)(1 - x²/²)(1 - x²/4²)(1 - x²/9²)...

Теперь разделим на x:

sinx/x = 1 - x²/3! + x⁴/5!
– x⁶/7! + ... = K(1 - x²/²)(1 - x²/4²)(1 - x²/9²)...

И, поскольку lim_x->0(sinx/x) = 1, получим, что K = 1. Итак:

1 - x²/3! + x⁴/5!
– x⁶/7! + ... = (1 - x²/²)(1 - x²/4²)(1 - x²/9²)...

Этот ряд равен бесконечному произведению. Для Эйлера это не проблема. Подсчитаем порядок произведения и выделим члены произведения с x² в правой части:

– x²/3! = -x²/²– x²/4²– x²/9²– ...

Разделив

обе части на -x²/², получим

²/6 = 1+ 1/2² + 1/2³ + 1/4² + ...,

что и требовалось доказать.

3. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Эйлер был первым математиком, доказавшим тождественность ($) как ряда степеней и ($) как бесконечного произведения. Назовем р_к простое число, занимающее место k в ряде. Получим

Ниже можно увидеть, каким образом получается это равенство:

Для тех, кто знаком со сложным анализом, дзета-функция может быть расширена до мероморфной во всей комплексной области с простым полюсом s = 1, где остаток равен 1. Это дзета-функция, о которой говорил Риман и которая стала предметом его знаменитой гипотезы.

4. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА

Чтобы упростить, насколько это возможно, наше объяснение, оттолкнемся от предположения, что задействованные в нем функции удовлетворяют всем необходимым условиям на производную и непрерывность.

Обозначим через S функционал (функцию функций), к которому мы применим вариационное исчисление, а через x_1, х₂ — экстремумы неизвестной функции:

S(f) = _x1^x2L(x₁,f(x),f'(x))dx.

Предположим, что решением является f₀ и что функционал имеет здесь минимум; назовем (x) функцию (которую мы будем "варьировать"), равную нулю в экстремумах x1, х₂. Поскольку в f₀ функционал имеет минимум,

S(f₀)<=S(f₀+)

в окрестности f₀. Вариационный размах

f = f₀ +

должен удовлетворять:

dS(f₀ + )/d|=0 = _x1^x2dL/d|₌₀ = 0

Теперь вспомним, что

df/d = ,df'/d = '.

Применим правило дифференцирования и проведем необходимые замены.

Получим

dL/d = L/f df/d + L/f' df'/d = (L/f) + L/f''

A теперь проинтегрируем по частям и учтем предыдущую формулу:

Поскольку выражение слева — ноль, то нулем будет и выражение справа. Следовательно,

dL/df = d/dx L/df' = 0

Таким образом, мы получили уравнения Эйлера — Лагранжа, которые в приложениях обычно приводят к дифференциальным уравнениям второго порядка.

5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Эйлер вывел свою фундаментальную формулу, из которой впоследствии получил еще несколько из простых рядов Тейлора. Напомним, что степени ведут себя так:

i0 = 1,i1 = i,i2 = -1,i3 = -i,