Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории
Шрифт:
Приняв к сведению последнее наблюдение, снова обратимся к теории струн и рассмотрим возможные энергии струны на конкретном примере. Предположим, что радиус циклического измерения вселенной Садового шланга в 10 раз больше планковской длины. Запишем это в виде формулы R= 10. Струна может быть намотана вокруг этого измерения один раз, два раза, три раза и т. д. Число оборотов струны вокруг циклического измерения называют топологическим числом [15] струны. Энергия, обусловленная намоткой струны, определяется длиной намотанной струны и пропорциональна произведениюрадиуса на топологическое число. Кроме того, любая струна способна совершать колебательные движения. Интересующие нас сейчас энергии однородных колебаний обратно пропорциональны радиусу, т. е. пропорциональны произведению целочисленных множителей на обратныйрадиус 1/ R, равный, в данном случае, одной десятой планковской длины. Мы будем называть эти целочисленные
15
Английский термин «winding number» переводят по-разному: «число намоток», «индекс намотки», «топологический индекс», «топологическое число» и т. д. Мы будем переводить его как «топологическое число», подчёркивая связь с различными конфигурациями струны, которые нельзя получить одну из другой путём непрерывной деформации. ( Прим. перев.)
Видно, что ситуация очень напоминает ситуацию на фондовой бирже. При этом топологические и колебательные числа являются непосредственными аналогами количеств купленных акций двух компаний, а Rи 1/ Rиграют роль цен на акции каждой компании по завершении торгов. Вычислить полную энергию струны, зная колебательное число, топологическое число и радиус, так же просто, как вычислить стоимость капиталовложения, исходя из количества акций каждой компании и стоимости акций после завершения торгов. В табл. 10.1 приведён ряд результатов для полных энергий различных конфигураций струн в случае вселенной Садового шланга радиуса R= 10.
Таблица 10.1.Выборочные колебательные и топологические конфигурации струны, движущейся во Вселенной с радиусом R= 10 (рис. 10.3). Колебательные вклады в энергию кратны 1/10, а топологические вклады кратны 10. В результате получаются перечисленные значения полной энергии. Единицей измерения энергии является планковская энергия, т. е., например, 10,1 в правом столбце соответствует значению 10,1, умноженному на планковскую энергию
| Колебательное число | Топологическое число | Полная энергия |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1/10 + 10 = 10,1 |
| 1 | 2 | 1/10 + 20 = 20,1 |
| 1 | 3 | 1/10 + 30 = 30,1 |
| 1 | 4 | 1/10 + 40 = 40,1 |
| 2 | 1 | 2/10 + 10 = 10,2 |
| 2 | 2 | 2/10 + 20 = 20,2 |
| 2 | 3 | 2/10 + 30 = 30,2 |
| 2 | 4 | 2/10 + 40 = 40,2 |
| 3 | 1 | 3/10 + 10 = 10,3 |
| 3 | 2 | 3/10 + 20 = 20,3 |
| 3 | 3 | 3/10 + 30 = 30,3 |
| 3 | 4 | 3/10 + 40 = 40,3 |
| 4 | 1 | 4/10 + 10 = 10,4 |
| 4 | 2 | 4/10 + 20 = 20,4 |
| 4 | 3 | 4/10 + 30 = 30,4 |
| 4 | 4 | 4/10 + 40 = 40,4 |
Полная таблица была бы бесконечно длинной, так как топологические и колебательные числа могут принимать произвольные целые значения, однако представленный фрагмент таблицы достаточен для обсуждения. Из таблицы видно, что она соответствует ситуации больших топологических вкладов и малых колебательных вкладов: топологические вклады кратны 10, а колебательные вклады кратны 1/10.
Предположим теперь, что радиус циклического измерения сужается, скажем, с 10 до 9,2, затем до 7,1 и далее до 3,4, 2,2, 1,1, 0,7 и т. д. до 0,1 (1/10), где, в нашем примере, процесс сужения прекращается. Для такой геометрически иной формы вселенной Садового шланга можно построить аналогичную таблицу энергий струн. В ней топологические вклады кратны 1/10, а колебательные вклады кратны обратному значению, т. е. 10. Результаты сведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2.Аналогична табл. 10.1, но значение радиуса выбрано равным 1/10
| Колебательное число | Топологическое число | Полная энергия |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 10 + 1/10 = 10,1 |
| 1 | 2 | 10 + 2/10 = 10,2 |
| 1 | 3 | 10 + 3/10 = 10,3 |
| 1 | 4 | 10 + 4/10 = 10,4 |
| 2 | 1 | 20+ 1/10 = 20,1 |
| 2 | 2 | 20 + 2/10 = 20,2 |
| 2 | 3 | 20 + 3/10 = 20,3 |
| 2 | 4 | 20 + 4/10 = 20,4 |
| 3 | 1 | 30+ 1/10 = 30,1 |
| 3 | 2 | 30 + 2/10 = 30,2 |
| 3 | 3 | 30 + 3/10 = 30,3 |
| 3 | 4 | 30 + 4/10 = 30,4 |
| 4 | 1 | 40+ 1/10 = 40,1 |
| 4 | 2 | 40 + 2/10 = 40,2 |
| 4 | 3 | 40 + 3/10 = 40,3 |
| 4 | 4 | 40 + 4/10 = 40,4 |
На
Табл. 10.1 и 10.2 не полны по двум причинам. Во-первых, как указано выше, здесь выбраны лишь некоторые из бесконечного набора колебательных и топологических чисел, возможных для струны. Это, разумеется, не является серьёзной проблемой — мы могли бы строить таблицу до тех пор, пока не иссякнет терпение, и убедились бы, что указанное свойство продолжает оставаться справедливым. Во-вторых, кроме топологического вклада в энергию мы до сих пор учитывали лишь однородные колебания струны. Сейчас необходимо учесть и обычные колебания, так как они дают дополнительный вклад в полную энергию струны и, кроме того, определяют переносимый струной заряд. Здесь важно отметить, что исследования свидетельствуют о независимости этих вкладов от радиуса. Поэтому, даже если эти вклады были бы включены в табл. 10.1 и 10.2, таблицы всё равно точно соответствовали бы друг другу, так как обычные колебательные вклады учитывались бы в каждой таблице совершенно одинаковым образом. Следовательно, можно заключить, что массы и заряды частиц во вселенной Садового шланга радиусом Rидентичны массам и зарядам частиц во вселенной Садового шланга радиусом 1/ R. А так как именно эти массы и заряды управляют фундаментальными физическими законами, нет никакого физического различия между двумя геометрически различными вселенными. Результаты любого эксперимента в одной вселенной и соответствующего эксперимента в другой вселенной будут в точности совпадать.
Спор двух профессоров
После превращения в двумерные существа Джордж и Грейс стали профессорами физики во вселенной Садового шланга. Они основали конкурирующие лаборатории, сотрудники каждой из которых вскоре заявили о том, что им удалось определить размер циклического измерения. На удивление, при всей безупречной репутации каждой лаборатории в области высокоточных исследований, результаты оказались разными. Джордж уверен в том, что радиус (в единицах планковской длины) равен R= 10, а Грейс утверждает, что значение радиуса равно R= 1/10.
«Грейс, — говорит Джордж, — мои вычисления по теории струн показывают, что если радиус циклического измерения равен 10, то энергии наблюдаемых мной струн должны соответствовать табл. 10.1. Я провёл масштабные эксперименты на новом ускорителе с энергиями порядка планковской, и результаты в точности подтвердили это предположение. Следовательно, я совершенно определённо заявляю, что радиус циклического измерения равен R= 10». В свою очередь, Грейс приводит в защиту своего результата в точности те же доводы, но её вывод состоит в том, что зарегистрированы значения энергий из табл. 10.2, и радиус, таким образом, равен R= 1/10.
Озарённая проблеском интуиции Грейс демонстрирует Джорджу, что несмотря на разное расположение элементов эти таблицы тождественны. Джордж, который, как всем известно, соображает несколько медленнее Грейс, отвечает: «Но как такое возможно? Я знаю, что, согласно принципам квантовой теории и свойствам намотанных струн, различные значения радиуса должны приводить к разным возможным значениям энергий и зарядов струн. И если эти значения согласуются, то и значения радиуса также должны находиться в согласии».