Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории

Грин Брайан

Представим, например, что вы хотите вычислить физические характеристики — массы и заряды, — соответствующие выбору одного из возможных пространств Калаби–Яу в качестве дополнительных измерений. При этом вас не особенно заботит степень согласования ваших результатов с экспериментом, так как в настоящее время, в силу ряда рассмотренных выше теоретических и технических причин, экспериментальное подтверждение результатов достаточно проблематично. Вместо этого проводится мысленный эксперимент, который должен показать, как выглядел бымир, если быбыло выбрано данное пространство Калаби–Яу. Сначала всё идёт хорошо, но в середине такого теоретического анализа возникает необходимость математического расчёта непомерной сложности. Никто, ни один из лучших специалистов-математиков, не может подсказать, как поступать дальше. Двигаться некуда. И тут выясняется, что у этого пространства Калаби–Яу есть зеркальный партнёр. Поскольку окончательные физические свойства будут одинаковы для каждого члена зеркальной пары, вычисления можно проводить для любого из этих пространств. Таким образом, можно перевести сложное вычисление для первого из пространств на язык его зеркального партнёра, и результат

вычислений, т. е. физические свойства, будут теми же. Сначала можно предположить, что изменённый вариант вычисления будет таким же сложным, как первоначальный. Но возникает приятная и поразительная неожиданность. Обнаруживается, что вид вычисляемого выражения очень сильно отличается от исходного, и, в некоторых случаях, невообразимо сложное вычисление становится поразительно лёгким в зеркальном пространстве. Не существует простого объяснения, почему это происходит, но, по крайней мере для определённых вычислений, это действительно так, и уменьшение сложности расчётов оказывается впечатляющим. В результате препятствие на пути решения задачи становится преодолимым.

Ситуация схожа со случаем, когда требуется точно подсчитать число апельсинов, плотно набитых в огромный ящик, скажем, со сторонами 15 м и глубиной 3 м. Пересчитывать апельсины по одному крайне неблагодарное занятие. Но тут, к счастью, находится человек, который присутствовал в момент, когда завезли эти апельсины. Он сообщает, что апельсины были аккуратно упакованы в меньшие коробки, занимающие куб, по длине, ширине и глубине которого умещалось 20 коробок. Оценив, что число коробок равно 8 000, остаётся лишь вычислить, сколько апельсинов входит в одну коробку, и задача решена. В итоге, путём грамотного преобразования вычислений удаётся значительно упростить задачу. В теории струн ситуация с громоздкими вычислениями аналогична. Что касается пространств Калаби–Яу, вычисления могут состоять из очень большого числа этапов. Однако при переходе к расчётам для зеркального пространства вычисления можно гораздо более эффективно реорганизовать, так что выполнить их достаточно просто. Этот факт был отмечен Плессером и мной, а затем результативно использовался на практике в последующих работах Канделаса и его коллег Ксении де ла Осса и Линды Паркс из Техасского университета, а также Пола Грина из университета штата Мэриленд. Они показали, что вычисления невообразимой сложности могут быть проведены до конца с помощью идеи зеркальной пары, персонального компьютера и пары листов алгебраических выкладок.

Особенно захватывающим данный результат оказался для математиков, так как именно из-за этих вычислений многие их исследования годами находились в тупике. Теория струн, по крайней мере по утверждениям физиков, обогнала математику.

Здесь можно напомнить о многолетнем здоровом и добром соперничестве между физиками и математиками. Случилось так, что два норвежских математика, Гейр Эллингсруд и Штейн Арилд Штремме, работали над одной из многочисленных задач, которую Канделас и его коллеги успешно решили с использованием зеркальной симметрии. Грубо говоря, задача заключалась в вычислении числа сфер, которые можно упаковать внутрь некоторого пространства Калаби–Яу. Это подобно нашему примеру с подсчётом числа апельсинов в ящике. На семинаре в 1991 г. в Беркли, где собрались физики и математики, Канделас объявил о результате, полученном его группой с использованием теории струн и зеркальной симметрии: 317 206 375. Эллингсруд и Штремме, в свою очередь, объявили о результате своего очень сложного математического вычисления: 2 682 549 425. Несколько дней математики и физики спорили: кто же прав? Вопрос был принципиальным и мог, фактически, служить «лакмусовой бумажкой» для проверки достоверности количественных результатов теории струн. Некоторые даже шутливо замечали, что такая проверка — лучшее, что можно придумать ввиду невозможности проверки теории струн на эксперименте. Кроме того, в результате Канделаса заключалось нечто гораздо большее, чем просто число, каковым это было для Эллингсруда и Штремме. Канделас и его коллеги, кроме того, объявили о решении многих других задач неизмеримо большей сложности, за которые никогда не взялся бы ни один математик. Но можно ли верить результатам теории струн? Семинар закончился плодотворным обменом мнений между математиками и физиками, но причина расхождения результатов так и не была установлена.

Примерно месяц спустя участники семинара в Беркли получили по электронной почте письмо, озаглавленное «Физика победила!». Эллингсруд и Штремме нашли ошибку в своей компьютерной программе, и после её исправления результат совпал с результатом группы Канделаса. С тех пор было проведено немало количественных проверок надёжности расчётов в теории струн с помощью зеркальной симметрии. Теория струн с триумфом прошла все проверки. Ещё позже, почти через десять лет после открытия физиками зеркальной симметрии, математики добились значительных успехов в выявлении математических принципов, лежащих в основе этой симметрии. Используя фундаментальные результаты математиков Максима Концевича, Юрия Манина, Ганга Тиана, Джуна Ли и Александра Гивенталя, Яу и его коллеги Бонг Лиан и Кефенг Лиу нашли, в конце концов, строгое математическое доказательство для обоснования формул, используемых для подсчёта числа сфер внутри пространств Калаби–Яу, разрешив проблемы, которые сотни лет оставались камнем преткновения для математиков.

Эти исследования не просто оказались успешными для конкретного случая, но и выявили ту роль, которую физика начала играть в современной математике. Довольно долгое время физики рылись в архивах математических журналов в поисках средств для построения и анализа моделей физического мира. Сейчас, с открытием теории струн, физика начинает выплачивать свой долг и снабжать математиков новыми мощными подходами к неразрешённым проблемам. Теория струн не только предлагает единое описание физического мира, но и помогает установить глубокий и прочный союз с математикой.

Глава 11. Разрывая ткань пространства

Если непрерывно растягивать резиновую плёнку, рано или поздно она порвётся. Этот простой факт заставлял физиков годами обращаться к вопросу, возможно ли подобное по отношению к ткани пространства, создающего Вселенную. Может ли эта ткань разорваться, или такое вводящее в заблуждение представление есть результат слишком

буквального понимания аналогии с резиновой плёнкой?

Общая теория относительности Эйнштейна отвечает на вопрос о возможном разрыве структуры пространства отрицательно. ^{95} Уравнения общей теории относительности основаны на римановой геометрии, которая, как отмечалось в предыдущей главе, позволяет проанализировать искажения свойств расстояний между соседними точками пространства. Чтобы формулы для расстояний были осмысленными, в математическом формализме требуется гладкостьсамого пространства. Понятие «гладкости» имеет конкретный математический смысл, но общеупотребительное значение слова «гладкость» хорошо передаёт суть этого понятия: гладкий — значит без складок, без проколов, без отдельных «нагромождённых» друг на друга кусков, без разрывов. Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит.

Впрочем, эта зловещая перспектива не отпугивала склонных фантазировать теоретиков, которые годами исследовали возможность квантово-механического обобщения классической теории Эйнштейна, допускающего существование проколов, разрывов и слияний ткани пространства. Тот факт, что по законам квантовой физики на малых расстояниях происходят неистовые флуктуации, позволял предположить, что проколы и разрывы могут быть обычными явлениями в микроскопической структуре пространства. Понятие пространственно-временных червоточин [16] (хорошо знакомое поклонникам фантастического сериала «Звёздный путь») опирается на подобные предположения. Идея проста. Представим себе крупную корпорацию, управление которой находится на девяностом этаже одного из небоскрёбов. Исторически сложилось так, что отделение корпорации, с которым сотрудникам этого управления в последнее время всё чаще приходится связываться, находится на девяностом этаже соседнего небоскрёба. Так как переносить один из офисов в другое здание нецелесообразно, разумным решением было бы строительство моста, соединяющего две башни. Тогда сотрудники получили бы возможность переходить из офиса в офис, не спускаясь вниз и поднимаясь вверх на девяносто этажей.

16

В русскоязычной литературе более распространённым является термин «кротовые норы». ( Прим. ред.)

Пространственно-временная червоточина играет схожую роль. Это мост или туннель, служащий укороченным маршрутом из одной области вселенной в другую. Пример червоточины в двумерной вселенной показан на рис. 11.1. Если управление «двумерной» корпорации находится вблизи нижней окружности рис. 11.1 а, то в её отделение на верхней окружности можно попасть, лишь путешествуя по всему U-образному маршруту, ведущему из одного края вселенной в другой. Но если ткань пространства может рваться с образованием проколов, изображённых на рис. 11.1 б, если эти проколы могут «срастись» краями, как на рис. 11.1 в, то две ранее отдалённые области соединятся пространственным мостом. Это и есть червоточина. Нужно отметить, что хотя червоточина и мост между небоскрёбами имеют некоторое сходство, между ними есть и существенное различие. Мост между небоскрёбами пролегает по существующемупространству, т. е. по пространству между небоскрёбами. Червоточина, в отличие от этого, образует новоепространство, ибо изображённая на рис. 11.1 адвумерная искривлённая поверхность — это всё, что имелось. Область вне поверхности лишь артефакт неадекватной картинки, которая не может изобразить U-образную вселенную иначе как погружённой в наш трёхмерный мир. Червоточина создаёт новое пространство и потому прокладывает новую пространственную территорию.

Рис. 11.1. а) «U-образная» вселенная, в которой достичь одного конца с другого можно лишь после длительного космического путешествия. б) Ткань пространства рвётся, и два конца червоточины начинают вытягиваться. в) Два конца червоточины соединяются, образуя новый мост — «срезая путь» между двумя концами вселенной

Существуют ли червоточины во Вселенной? Этого не знает никто. И если они действительно существуют, неясно, могут ли они быть только микроскопической формы, или перекрывать обширные области пространства, как в фантастических фильмах. Существование червоточин в реальном мире во многом определяется тем, возможен ли разрыв структуры пространства.

Другой яркий пример того, как ткань пространства может растягиваться до предела, дают чёрные дыры. На примере рис. 3.7 мы видели, что сильнейшее гравитационное поле чёрной дыры приводит к настолько сильной искривлённости пространства, что оно выглядитпроколотым в центре чёрной дыры. В отличие от червоточин, есть веские экспериментальные свидетельства в пользу существования чёрных дыр, и вопрос о том, что происходит в центре дыры, приобретает конкретный научный характер. В экстремальных условиях внутри чёрной дыры уравнения общей теории относительности становятся неприменимыми. По мнению некоторых физиков, в центре чёрной дыры действительно имеется прокол, но мы ограждены от этой космической «сингулярности» горизонтом событий, не позволяющим даже свету вырваться из гравитационной ловушки. Такие соображения привели Роджера Пенроуза из Оксфордского университета к «гипотезе космической цензуры», согласно которой подобные пространственные особенности возможны лишь в местах, тщательно скрытых от наших глаз пеленой горизонта событий. С другой стороны, до открытия теории струн некоторые физики считали, что корректное объединение квантовой теории и общей теории относительности «залатает» бросающиеся в глаза бреши в ткани пространства, сгладив его квантовыми поправками.