Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.

Для синусоидального по­ля Е, подобного выражению (33.6), производная dE/дt — это то же самое, что и iwE, a дЕ/дх — то же, что и ik_xE, и аналогично для остальных компо­нент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция С=(д/дx), (д/ду), (д/дz) заменяется тремя умножениями (-ik_x,-ik_y , -ik_z). Но

эти три множителя преобразуются как компоненты вектора k, так что оператор С заменяется умножением на

Правило остается справедливым для операции С в любой ком­бинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, z-компонента СXЕ равна

Если и Е_уи Е_хизменяются как e^{– ik·r}, то мы получаем

– ik _x E _y +ik _y E _x ,

что представляет, как вы видите, z-компоненту —ikXЕ.

Таким образом, мы получили очень полезный общий закон, что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните, что оператор С эквивалентен умножению на —ik.

Например, уравнение Фарадея

СXЕ=дB/дt

превращается для волны в

— ikXЕ=-iwB. Оно говорит, что

В=kXE/w. (33.9)

Это соответствует результату, найденному ранее для волн в пу­стом пространстве, т. е. что вектор В в волне направлен под прямым углом к вектору Е и направлению распространения волны. (В пустом пространстве w/k=с.) Знак в уравнении (33.9) вы можете проверить, исходя из того, что k является на­правлением вектора Пойнтинга S=e₀c²(EXВ).

Если вы примените то же самое правило к другим уравне­ниям Максвелла, то снова получите результаты последней главы, в частности

Но раз уже это известно нам, давайте не будем проделывать все сначала.

Если вы хотите поразвлечься, можете попытаться решить та­кую устрашающую задачу (в 1890 г. она предлагалась студен­там на выпускных экзаменах): решите уравнения Максвелла для плоской волны в анизотропном кристалле, т. е. когда поля­ризация Р связана с электрическим полем Е через тензор поля­ризуемости. Конечно, в качестве ваших осей вы выберете глав­ные оси тензора, так что связи при этом упростятся (тогда Р_х=a_aЕ_х, Р_у=a_bЕ_у, a P_z=a_cE_z), но

направление волны и ее поляризация пусть останутся произвольными. Вы должны найти соотношение между Е и В и определить, как изменяется k с направлением распространения волны и ее поляризацией. После этого вам будет понятна оптика анизотропного кристалла. Лучше начать с более легкого случая дважды лучепреломляющего кристалла, подобного турмалину, для которого два коэффи­циента поляризуемости равны между собой (например, a_b=a_c), и попытаться понять, почему, когда мы смотрим через такой кристалл, мы видим два изображения. Если это вам удастся, тогда испытайте свои силы на более трудном случае, когда все три а различны. После этого вам уже будет ясен уровень ваших знаний — знаете ли вы столько же, сколько студент, заканчи­вавший университет в 1890 г. Но мы с вами в этой главе будем рассматривать только изотропные вещества.

Из опыта вам известно, что когда на границу раздела двух материалов, скажем воздуха и стекла или воды и бензина, попадает плоская волна, то возникают как отраженная, так и преломленная волны.

Предположим, что, кроме этого факта, нам больше ничего неизвестно, и посмотрим, что можно из него вывести. Выберем наши оси так, чтобы плоскость yz совпадала с поверхностью раздела, а плоскость ху была перпендикулярна фронту волны (фиг. 33.3).

Фиг. 33.3. Векторы, распространения k, k' и k" для падающей, отраженной и прелом­ленной волн.

Электрический вектор в падающей волне может быть записан в виде

Поскольку вектор k перпендикулярен оси z, то

k·r=k_xx+k_yy. (33.12) Отраженную волну мы запишем как

так что ее частота равна w', волновое число k', а амплитуда Е'₀. (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора k в отра­женной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим пред­полагать даже это. Пусть это все получится само собой из мате­матического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:

Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотноше­ние (33.9), так что для каждой из волн

Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозна­чим через n₁и n₂, то из уравнения (33.10) получится

Поскольку отраженная волна находится в том же ма­териале, то

в то время как для преломленной волны

§ 3. Граничные условия

Все что мы делали до сих пор, было описанием трех волн; теперь нам предстоит выразить параметры отраженной и пре­ломленной волн через параметры падающей. Как это сделать?

Три описанные нами волны удов­летворяют уравнениям Максвелла в однородном материале, но, кро­ме того, уравнения Максвелла должны удовлетворяться и на границе между двумя материалами. Так что нам нужно сейчас посмотреть — что же происходит на самой границе. Мы най­дем, что уравнения Максвелла требуют, чтобы три волны опре­деленным образом согласовывались друг с другом.