Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фейнман Ричард Филлипс

Фиг. 39.6. Измерение внутренних напряжений с помощью поляризован­ного света.

Фиг. 39.7. Вид напряженной пластмассовой модели между двумя скрещенными полярои­дами.

§ 4. Неупругое поведение

Во всем, что до сих пор говорилось, мы предполагали, что напряжение пропорционально деформации, а это вообще-то неверно. На фиг. 39.8 приведена типичная диаграмма напряже­ние — деформация упругого материала.

Фиг. 39.8.

Типичная диаграм­ма напряжение — деформация для больших деформаций.

Для малых деформа­ций напряжение пропорционально деформации. Однако после некоторой точки зависимость напряжения от деформации на­чинает отклоняться от прямой линии. Для многих материалов, которые мы назовем «хрупкими», разрушение наступает, когда деформация несколько превысит ту точку, где кривая начинает загибаться. В общем же случае в диаграмме напряжение — деформация есть и другие усложнения. Например, когда вы деформируете предмет, существующие большие напряжения могут затем медленно уменьшиться со временем. Если вы до­стигнете высоких напряжений, однако ниже точки разрыва, а затем будете уменьшать деформацию, то напряжения будут возвращаться назад уже по другой кривой. Возникает небольшой гистерезисный эффект (наподобие того, что мы видели в связи между В и Н в магнитных материа­лах).

Напряжения, при которых происходит разрушение, сильно изменяются от материала к материалу. Некоторые материалы разрушаются при максимальном растягивающем напряжении. Другие же разрушаются при определенной величине напряже­ния сдвига. Скажем, мел гораздо слабее противостоит растяже­нию, тем сдвигу. Если вы потянете за концы палочки мела, то она сломается перпендикулярно направлению приложенной силы (фиг. 39.9, справа).

Фиг. 39.9. Сломанный кусочек мела:

Справа — растягиванием за "концы", слева — скручиванием.

Ведь мел — это только спрессованные частички, которые легко растаскиваются в стороны, поэтому он ломается перпендикулярно приложенной силе. А в отношении сдвига этот материал гораздо крепче, так как в этом случае частицы мешают друг другу. Вспомните теперь, что когда мы скручиваем стержень, то в любом его поперечном сечении воз­никают сдвиги. Мы показали, кроме того, что сдвиг эквивален­тен комбинации растяжения и сжатия под углом 45°. По этой причине при скручивании кусочек мела разломится по сложной поверхности, которая расположена под углом 45° к образую­щим. На фиг. 39.9 (слева) приведена фотография куска мела, сломанного таким способом. Мел ломается там, где напряже­ния максимальны.

Есть и другие материалы, которые ведут себя очень стран­ным и сложным образом. Чем сложнее материал, тем причуд­ливей его поведение. Если мы возьмем лист сарана, скомкаем его и бросим на стол, то постепенно он расправится и примет свою первоначальную плоскую форму. На первый взгляд кажется соблазнительным считать, что здесь основную роль играет именно упругость. Но простой подсчет покажет, что она слишком слаба (на несколько порядков слабее), чтобы как-то влиять на этот эффект. Оказывается, что здесь соревнуются два механизма; «нечто» внутри материала «помнит» первона­чальную форму и «пытается» вернуться к старому виду, а «нечто» другое «предпочитает» новую форму и сопротивляется возврату к старой.

Я не хочу вдаваться в подробности и описывать тот меха­низм, который играет роль в поведении скомканного листа сарана, но получить представление о том, как такие эффекты происходят, вы можете на следующей модели. Представьте себе материал, изготовленный из длинных гибких, но крепких нитей вперемешку с пустотелыми ячейками, заполненными вязкой жидкостью. Представьте также, что между каждой ячейкой и соседними с ней имеются узкие проходы, по которым жидкость может медленно проникать из одной ячейки в другую. Если мы скомкаем лист такого материала, то длинные нити де­формируются, жидкость из

одной ячейки будет выжиматься и переходить в другие ячейки, которые оказались растянутыми. Когда же мы отпускаем лист, то длинные нити будут стремиться вернуться к своей первоначальной форме. Однако, чтобы сде­лать это, они должны заставить жидкость возвратиться на свое прежнее место, что происходит довольно медленно из-за ее вязкости. Силы, которые мы прилагаем, комкая лист, гораздо больше сил, развиваемых нитями. Скомкать лист можно очень быстро, а вот вернуться к прежнему виду он сможет гораздо мед­леннее. Несомненно, что здесь основную роль играет комбинация больших, жестких молекул и более мелких, но более подвижных. Этот механизм согласуется также с тем фактом, что материал быстрее принимает свою первоначальную форму, если он нагрет, и медленнее в холодном состоянии: тепло увеличивает подвижность (уменьшает вязкость) мелких молекул.

Хотя мы обсуждали, как происходит нарушение закона Гука, но, по-видимому, наиболее удивительно все же не нару­шение этого закона при больших деформациях, а его универ­сальность. Некоторое понятие о том, почему так происходит, вы можете получить, рассматривая энергию деформации материала. Утверждение о том, что напряжение пропорционально деформации, равносильно утверждению, что энергия деформа­ции изменяется как квадрат напряжения. Предположим, что мы скрутили стержень на малый угол q. Если справедлив закон Гука, то энергия деформации должна быть пропорциональна квадрату q. Предположим, что энергия является некоторой произвольной функцией угла. Мы можем записать ее в виде разложения Тэйлора около нуля:

U(q)=U(0)+U'(0)q +¹/₂U’’(0)q²+¹/₆ U'''(q)q³+ -.. . (39.40)

Момент силы t представляет производную U по углу, поэтому

t(q)=U'(0)+U"(0) q+¹/₂U’’’(0)q² + ... . (39.41)

Если теперь отсчитывать угол от положения равновесия, то первое слагаемое будет равно нулю. Таким образом, первое оставшееся слагаемое пропорционально q и при достаточно малых углах оно будет превосходить слагаемое с q². [На самом деле, внутренне материалы в достаточной мере симметричны, так что t(q)=-t(-q); слагаемое с q² оказывается нулем, а отклонение от линейности происходит только из-за слагаемого с q³. Однако нет причин, по которым это было бы верно для растяжения и сжатия.] Единственно, что мы не объяснили,— почему материалы обычно разрушаются вскоре после того, как становятся существенными члены высшего порядка.

§ 5. Вычисление упругих постоянных

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,— это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличе­нию потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изме­нения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае про­стого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычис­лить следующим образом. Прежде всего мы предположим нали­чие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадра­тична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэф­фициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными C_ijkl.