Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред
Шрифт:
Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, еху=еуx.
В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:
Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно
u=(uх, uу, uz) и оператора С=(д/дx,д/дy,д/дz), который, как
мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x1, x2и x3, а вместо uх, uyи uгписать u1, u2 и u3; тогда общий вид элемента тензора eijбудет выглядеть так:
где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.
Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все eij — постоянные, и мы можем написать
uх=еххх+ехуy+ехzг. (39.9)
(Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации eijдает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z) и вектором перемещения u=(uх, uу, uг).
Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем
где wij, — антисимметричный тензор
описывающий
§ 2. Тензор упругости
Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений Sijкак i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая компонента Sijлинейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9X9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их Cijklопределив посредством уравнения
где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты Сijklсвязывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.
Предположим, что все Cijklизвестны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.
Наиболее простой способ подступиться к такой задаче — это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна перемещению х, скажем F=kx, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx2/2. Подобным же образом энергия w, запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной
Полная же работа W, затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему:
Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.
Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в Cijklсодержится не 81 различный параметр. Поскольку Sijи eij— симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то Cijklсостоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.