Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фейнман Ричард Филлипс

Эти изменения масштаба означают, что мы измеряем расстояние r и энергию Е в «естественных» атомных единицах. Например, r=r/r_B, где r_B=h²/me², называется «боровским радиусом» и равно примерно 0,528 Е. Точно так же e=E/E_R, где E_R=me⁴/2h². Эта

энергия называется «ридбергом» и равна примерно 13,6 эв. Раз произведение ry встречается в обеих частях уравнения, то лучше работать с ним, чем с самим y. Обозначив

ry=f, (17.12)

мы получим уравнение, которое выглядит проще:

Теперь нам предстоит найти функцию f, которая удовлет­воряет уравнению (17.13), иными словами, просто решить диф­ференциальное уравнение. К сожалению, не существует ника­ких общих, годных во всех случаях жизни методов решения любого дифференциального уравнения. Вы должны просто по­крутить его то так, то этак. Хоть уравнение не из легких, но лю­ди все же нашли, что его можно решить при помощи следующей процедуры. Первым делом вы заменяете f, которое является некоторой функцией от r, произведением двух функций:

Это просто означает, что вы выносите из f(r) множитель е^{– ar}. Для любого f(r) это можно сделать. Задача теперь просто све­лась к отысканию подходящей функции g(r).

Подставив (17.14) в (17.13), мы получим следующее уравне­ние для g:

Мы вправе выбрать любое a, поэтому сделаем так, чтобы было

a²=-e; (17.16)

тогда получим

Вы можете подумать, что мы не так уж далеко ушли от урав­нения (17.13); но новое уравнение тем хорошо, что его можно легко решить разложением g(r) в ряд по r. В принципе есть возможность таким же способом решать и (17.13), но только все проходит сложнее. Мы говорим: уравнению (17.17) можно удов­летворить некоторой функцией g(r), которая записывается в виде ряда

где a_k— постоянные коэффициенты. И нам осталось только найти подходящую бесконечную последовательность коэффициентов! Проверим, годится ли такая запись решения, Первая производ­ная такой функции g(r) равна

а вторая

Подставляя это в (17:17), имеем

Пока еще не ясно, вышло ли у нас что-нибудь; но мы рвемся вперед. Если мы первую сумму заменим некоторым ее эквива­лентом, то все выражение станет выглядеть лучше. Первый член в сумме равен нулю, поэтому каждое k можно заменить на k+1, от этого ничего в бесконечном ряде не изменится. Значит, пер­вую сумму мы вправе записать и так:

Теперь можно объединить все три суммы в одну:

Этот

степенной ряд должен обращаться в нуль при всех мыслимых значениях r, что возможно лишь тогда, когда коэф­фициенты при каждой степени r порознь равны нулю. Мы полу­чим решение для атома водорода, если отыщем такую последо­вательность a_k, для которой

при всех k>1. А это, конечно, устроить легко. Выберите какое угодно а₁. Затем все прочие коэффициенты образуйте с помощью формулы

Пользуясь ею, вы получите а₂, а₃, а₄ и т. д., и каждая пара будет, конечно, удовлетворять (17.21). Мы получим ряд для g(r), удовлетворяющий (17.17). С его помощью мы напишем y — решение уравнения Шредингера. Обратите внимание, что решения зависят от того, какова предполагаемая энергия (через a), но для каждого значения e получается свой ряд. Решение-то у нас есть, но что оно представляет физически? Понятие об этом мы получим, поглядев, что происходит вдалеке от протона — при больших r. Там основное значение приобре­тают наивысшие степени членов ряда, т. е. нам надо посмотреть, что бывает при больших k. Когда k>>1, то уравнение (17.22) приближенно совпадает с :

а это означает, что

Но это как раз коэффициенты разложения в ряд е^+2ar. Функ­ция g оказывается быстро растущей экспонентой. Даже после умножения на е^{– ar}получающаяся функция f(r) [см. (17.14)] будет при больших r меняться как е^ar. Мы нашли математиче­ское решение, но оно не является физическим. Оно представляет случай, когда электрону менее всего вероятно очутиться вблизи протона! Чаще всего он вам повстречается на очень больших расстояниях р. А волновая функция для связанного электрона должна при больших r стремиться к нулю.

Придется подумать, нельзя ли как-нибудь обмануть решение. Оказывается, можно. Посмотрите! Если бы, по счастью, оказа­лось, что a=1/n, где n — любое целое число, то уравнение (17.22) привело бы к a_n+1=0. И все высшие члены обратились бы тоже в нуль. Вышел бы не бесконечный ряд, а конечный многочлен. Любой многочлен растет медленнее, чем е^ar, поэтому множитель е^{– a} наверняка забьет его при больших r, и функ­ция f при больших r будет стремиться к нулю. Единственные решения для связанных состояний это те, для которых a=1/n, где n=1, 2, 3, 4 и т. д.

Оглядываясь на уравнение (17.16), мы видим, что у сфериче­ски симметричного волнового уравнения могут существовать решения для связанных состояний лишь при энергиях

Допустимы только те энергии, которые составляют именно такую часть ридберга Е_R=me⁴/2h², т. е. энергия n– го уровня равна