Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II
Шрифт:
Левый столбец таблицы описывает составное состояние через его полный момент количества движения J и z– компоненту М.
Таблица 16.3 · СОСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2,
Правый столбец показывает, как составляются эти состояния из значений т двух частиц а и b.
Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составленные из двух объектов а и b с произвольными спинами jа и jb. Начнем с разбора примера, когда jа=1/2
| е, me; d, md>):
Обратите внимание, что мы разверстали состояния согласно значениям суммы meи mdв порядке ее убывания.
Спросим теперь: что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси z на угол j, то состояние | е, me; d, md>умножается на
(Состояние можно считать произведением |е, mе>|d, md>, и каждый вектор состояния независимо привнесет свой собственный экспоненциальный множитель.) Множитель (16.43) имеет форму еiMj, поэтому z-компонента момента количества движения у состояния | е, mе; d, md>окажется равной
M=me+md. (16.44)
Иначе говоря, z-компонента полного момента количества движения есть сумма z-компонент моментов количества движения отдельных частей.
Значит, в перечне состояний (16.42) верхнее состояние имеет М=+3/2, Два следующих М=+1/2, затем два М=-1/2и последнее состояние М=-3/2. Мы сразу же видим, что одной из возможностей для спина J объединенного состояния (для полного момента количества движения) должно быть 3/2, это потребует четырех состояний с М= +3/2, +1/2,– 1/2
Но что является состоянием |J=3/2, М=+1/2>? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их линейная комбинация тоже даст М=+1/2. Значит, в общем случае можно ожидать, что
где a и b — два числа. Их именуют коэффициенты Клебша — Гордона. Найти их и будет нашей очередной задачей.
И мы их легко найдем, если просто вспомним, что дейтрон состоит из нейтрона и протона, и в явном виде распишем состояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 16.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выглядеть так, как показано в табл. 16.4.
Пользуясь состояниями из этой таблицы, мы хотим образовать четверку состояний с J=3/2. Но ответ нам уже известен, потому что в табл. 16.1 уже стоят состояния со спином 3/2, образованные из трех частиц со спином 1/2. Первое состояние в табл. 16.1 имеет |J=3/2, М=+3/2>, это |+++>, а в наших нынешних обозначениях это |e, +1/2; n, + 1/2; p, +1/2>, или первое состояние из табл. 16.4. Но это состояние — то же самое, что первое по списку в (16.42), так что наше выражение (16.45) подтверждается. Вторая строчка в табл. 16.1 утверждает, если воспользоваться нашими теперешними обозначениями, что
То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв Ц2/3 от первого члена и Ц1/3от второго. Иначе говоря, (16.47) эквивалентно
Таблица 16.4 · СОСТОЯНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ
Мы нашли два наших первых коэффициента Клебша — Гордона a, и b [см. (16.46)]:
Повторяя ту же процедуру, найдем
а также, конечно,
Это и есть правила составления из спина 1 и спина 1/2 полного спина J=3/2. Мы свели (16.45) и (16.50) в табл. 16.5.
Таблица 16.5 · СОСТОЯНИЯ С J=3/2 АТОМА ДЕЙТЕРИЯ
Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.
Из двух состояний во второй строчке (16.42) мы для образования |J=3/2, М=+1/2> составили только одну линейную комбинацию. Есть и другая линейная комбинация, ортогональная к ней, у нее тоже М=+1/2 и она имеет вид
Точно так же из двух состояний в третьей строке (16.42) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с М =-1/2. То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид