Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фейнман Ричард Филлипс

это и есть два оставшихся состояния. У них M=m_e+m_d=±¹/₂; эти состояния должны соответствовать J=¹/₂. Итак, мы имеем

Можно убедиться, что эти два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином ¹/₂; для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные со­стояния (при помощи табл. 16.3). Первое состояние в (16.53) превратится в

(16.55) а это можно переписать так:

Посмотрите теперь на

выражение в первых фигурных скобках и подумайте, что получается при объединении е и р. Вместе они образуют состояние с нулевым спином (см. нижнюю строку в табл. 16.3) и не дают вклада в момент количества движения. Остался только нейтрон, значит, вся первая фигурная скобка (16.56) будет вести себя при поворотах как нейтрон, а именно как состояние с J=¹/₂, M=+¹/₂.

Повторяя те же рассуждения, убедимся, что во вторых фигурных скобках (16.56) электрон и нейтрон объединяются, чтобы образовать нулевой момент количества движения, и ос­тается только вклад протона — с m_p=+¹/₂. Скобка опять ведет себя как объект с J=+¹/₂, М=+¹/₂. Значит, и все выра­жение (16.56) преобразуется как |J=+¹/₂, М=+¹/₂>, чего мы и хотели. Состояние М=– ¹/₂,отвечающее формуле (16.56), можно расписать так (заменив везде, где нужно, +¹/₂ на -¹/₂):

Вы легко проверите, что это совпадает со второй строчкой в (16.54), как и полагается, если каждая скобка представляет собой одно из двух состояний системы со спином ¹/₂. Значит, наши результаты подтвердились. Дейтрон и электрон могут существовать в шести спиновых состояниях, четыре из которых ведут себя как состояния объекта со спином ³/₂ (табл. 16.5), а два — как объект со спином ^J/₂ (16.54).

Результаты табл. 16.5 и уравнения (16.54) мы получили, вос­пользовавшись тем, что дейтрон состоит из нейтрона и протона. Правильность уравнений не зависит от этого особого обстоятель­ства. Для любого объекта со спином 1, объединяемого с объектом со спином ¹/₂, законы объединения (и коэффициенты) одни и те же. Совокупность уравнений в табл. 16.5 означает, что если система координат поворачивается, скажем, вокруг оси у, так что состояния частицы со спином ¹/₂и частицы со спином 1 изме­няются согласно табл. 16.1 и 16.2, то линейные комбинации по правую сторону знака равенства будут изменяться так, как это свойственно объекту со спином ³/₂. При таком же повороте со­стояния (16.54) будут меняться как состояния объекта со спи­ном ¹/₂. Результаты зависят только от свойств относительно пово­ротов (т. е. от спиновых состояний) двух исходных частиц, но отнюдь не от происхождения их моментов количества движения. Мы этим происхождением воспользовались лишь для вывода формул, выбрав частный случай, в котором одна из составных частей сама состоит из двух частиц со спином ¹/₂ в симметричном состоянии. Все наши результаты мы свели в табл. 16.6, изменив индексы е и d на а и b, чтобы подчеркнуть их общность.

Таблица 16.6 · ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ ¹/₂( j_a=¹/₂) С ЧАСТИЦЕЙ СО СПИНОМ 1 (j_b=1)

Поставим теперь себе общую задачу найти состояния, кото­рые можно образовать, объединяя два объекта с произвольными спинами. Скажем, у одного спин j_a(так что его z– компонента m_а пробегает 2j_а+1 значений от -j_aдо +j_a, а у другого j_{b(с z-компонентой mb, пробегающей значения от - jbдо+jb).}

Объединенные состояния суть | а, m_а; b, m_b>, их всего (2j_a+1)(2j_b+1). Какие же состояния с полным спином / мы обнаружим?

Полная z-компонента М момента количества движения рав­няется m_а+m_b, и все состояния можно перечислить, опираясь на величину М [как в (16.42)]. Наибольшое М является единст­венным;

оно отвечает значениям m_a=j_aи m_b=j_bи равно по­просту j_a+j_b. Это означает, что наибольший полный спин J также равен сумме j_а+j_b:

J=М_макс=j_a+j_b.

Следующему значению М, меньшему чем М_макс на единицу, будут соответствовать два состояния (либо m_а, либо m_bменьше своих максимальных значений на единицу). Из них должно быть образовано одно состояние, принадлежащее совокупности с J=j_a+j_b, и останется еще одно, которое будет принадлежать новой совокупности с J=j_a+j_b– 1. Следующее значение М (третье сверху) можно составить тремя путями (из m_a=j_a — 2, m_b=j_b, из m_a=j_a– 1, m_b=j_b– 1 и из m_a=j_a, m_b=j_b– 2). Два из них принадлежат к уже начавшим составляться груп­пам; третье говорит нам, что надо включить в рассмотрение и со­стояния с J=j_a+j_b– 2. Такие рассуждения будут продол­жаться до тех пор, пока уже нельзя будет, меняя то одно, то дру­гое т, получать новые состояния.

Пусть из j_аи j_bменьшим является j_b(а если они одинаковы, возьмите любое из них); тогда понадобятся только 2j_b значений полного спина J, идущих единичными шагами от j_а+j_b вниз к j_а– j_b. Иначе говоря, когда объединяются два объекта со спинами j_а и j_b, то полный момент количества движения J их системы может равняться одному из значений:

(Написав | j_a– j_b|вместо j_a– j_b, мы можем избежать напо­минания о том, что j_aіj_b.)

Для каждого из этих значений J имеется 2J+1 состояний с различными значениями М; М меняется от +J до -J. Каждое из них образовано из линейных комбинаций исходных состояний | а, m_а; b, m_b> с соответствующими коэффициентами — коэффициентами Клебша — Гордона для каждого отдельного члена. Можно считать, что эти коэффициенты дают «количест­во» состояния | j_a, m_a; j_b, m_b>, проявляющегося в состоянии