Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

g

=

+

2

h

,

мы имеем

– Det g

=

=

– Det

exp

1

2

Tr log

+

2

h

=

exp

1/2 Tr

2

h

–

1

2

(2)^2

h

h

+

1

3

(2)^3

h

h

h

+…

=

exp

1

2

2

h

–

1

2

2^2

h

h

+

1

3

(2)^3

h

h

h

+…

=

1

+

h

–

^2

h

h

+… .

(16.1.8)

Подставляя

эти выражения для -g и для g в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:

S

_m

=

1

2

–

2

h

+

(2)^2

h

h

+…

(

_,

_,

)

–

m^2^2

x

x

1+

h

–

^2

(h

h

)

+…

dx

=

=

1

2

dx

(

^,

_,

–

m^2^2

)-

dx

h

_,

_,

+

1

2

m^2^2

–

– ^2

dx

1

2

h

h

(

^,

_,

–

m^2^2

)-

2h

h

_,

_,

.

(16.1.9)

Рис. 16.1.

Члены

самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей и одного h, что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объёмного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом :

h

=

e

exp(iq·x)

,

=

exp(ip·x)

;

(16.1.10)

на языке тензора поляризации e амплитуда в вершине первого порядка

– 2

e

^1p

^2p

–

1

2

e

^1p

^2p

–

m^2

.

(16.1.11)

Рис. 16.2.

Любая диаграмма, которая включает в себя только такие вершины, теперь могла бы быть вычислена путём простой подстановки в соответствующие амплитуды в каждой вершине и пропагаторы частиц и гравитонов между вершинами в точности так же, как и в электродинамике.

Давайте посмотрим на следующий порядок. Члены, показанные в (16.1.9), включают в себя произведения двух h и , так что две прямых и две волнистых линии сходятся вместе в некоторой точке, как показано на рис. 16.1 (б). Имеются также члены, возникающие от разложения первого члена в соотношении (16.1.1), включающего в себя произведения трёх h, соответствующие диаграммам, в которых три волнистых линии сходятся в точке, как показано на рис. 16.1 (в). Обилие неявных сумм по трём индексам приводит к членам, которые очень и очень громоздки, когда они записаны явным образом. Например, один из членов, в котором три волнистых кривых сходятся вместе, есть h_,hh_,; когда мы переводам это на язык импульсов и компонент поляризации, мы получаем члены, соответствующие всем перестановкам трёх гравитонов, например,

^a

q

^a

e

^b

e

^c

q

^c

e

+

^b

q

^b

e

^a

e

^c

q

^c