Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Лекция 15
15.1 Физическая топология решений Шварцшильда
В предыдущей лекции у нас были сделаны некоторые предположения о том, что распределение действительного вещества не может сконденсировать вещество внутри сферы с радиусом меньшим, чем величина гравитационного радиуса 2m; даже если мы в порядке рабочей гипотезы приходим к выводу о том, что ”кротовые норы” не могут быть образованы из реального вещества, остаётся вопрос, который касается того, действительно ли решение Шварцшильда представляет случай, в котором тензор G равен нулю всюду, случай, в котором вещества нет вовсе, может выглядеть как вещество, которое рассматривается с расстояния.
(ds)^2
=
1
–
2m
r
(dt)^2
–
(dr)^2
1-2m/r
–
r^2(
(d)^2
+
sin^2
(d)^2
)
(15.1.1)
имеет очевидную сингулярность при r=2m, компоненты тензора кривизны являются гладкими в этой точке. Компоненты тензора кривизны становятся сингулярными в начале координат r=0, так что действительно происходит что-то ужасное с пространством в начале координат. Космический корабль, падающий в начало координат, может быть катастрофическим образом искривлён, потому что приливные силы становятся бесконечными, это есть тип ужасного поведения, который следует из сингулярности тензора кривизны. Всё, что происходит при r=2m, состоит в том, что коэффициенты перед членами (dt)^2 и (dr)^2 меняют знак в соотношении (15.1.1), тем не менее, пространство остаётся по-прежнему с сигнатурой три и один, так что пространство чувствует себя совершенно нормально.
Давайте рассмотрим разложение пространства в окрестности сингулярной точки. Предположим, что мы меняем координаты в окрестности r=2m, и рассмотрим плоскости d=0, d=0. На языке новой переменной x, мы имеем
x
=
(1-2m)
,
r
=
2m(1+x)
при малых значениях
x
,
(ds)^2
=
x(dt)^2
–
(2m)^2
(dx)^2
x
,
(15.1.2)
вблизи сингулярной точки. Хотя пространство меняет знак, когда x меняет знак, при x>0 метрика может быть заменена вновь таким образом, что она становится плоской; простое координатное преобразование приводит метрику к ”полярному” виду
x
=
R^2
– >
(ds)^2
=
R^2
(dt)^2
–
(4m)^2
(dR)^2
,
(15.1.3)
с использованием этого соотношения метрика легко может быть преобразована в метрику Минковского путём подстановки
v
=
4mRcosh(t/4m)
,
u
=
4mRsinh(t/4m)
,
– >(ds)^2
=
(du)^2
–
(dv)^2
.
(15.1.4)
Эти результаты показывают, что пространство вблизи сингулярной точки ведёт себя совершенно хорошо, так что сингулярность Шварцшильда есть особенность координат, которые мы определили. Для того, чтобы связать геодезические, проходящие через точку r=2m, уравнение (15.1.4) подсказывает подстановку
x
=
1
–
2m
r
=-
(u^2-v^2)
(4m)^2
,
u
v
=
tanh
t
4m
,
(15.1.5)
на языке координат u и v
15.2. Орбиты частиц в поле Шварцшильда
Поучительно получить описание радиального движения частиц как функции собственного времени s. Как обычно для задач описания движения в поле центральных сил, движение происходит в одной плоскости (мы выбираем её таким образом, что =/2, и радиальное движение определяется двумя параметрами K и L, связанными с полной энергией и угловым моментом, которые есть первые интегралы уравнения для времени и уравнения для угла, как следует из следующих уравнении: уравнения геодезических
d
ds
g
dx
ds
=
1
2
g
x
dx
ds
dx
ds
,
(15.2.1)
может быть тривиальным образом проинтегрировано, когда =3,4 (координаты , t), поскольку метрический тензор не зависит от и t, и, следовательно, правая часть уравнения (15.2.1) равна нулю. Из этого условия определяются следующие интегралы:
K
=
(1-2m/r)
dt
ds
,
L
=
r^2
d
ds
.
(15.2.2)
Уравнение для описания изменения радиальной координаты может быть получено, если мы положим =1 в уравнении (15.2.1), но это требует больше работы, чем это необходимо. Легче получить уравнение для описания изменения радиальной координаты из условия
g
dx
ds
dx
ds
=
1,
(15.2.3)
которое может быть явным образом записало через величины L и K следующим образом:
K^2
(1-2m/r)
–
1
(1-2m/r)
dr
ds
^2
–
L^2
r^2
=
1.
(15.2.4)
Собственное время, соответствующее пролёту частицы от значения радиуса r до значения радиуса r, задаётся следующим соотношением: