Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
ds
=
p
=
3
.
(14.1.9)
Эти соотношения между давлением, плотностью и адиабатическими процессами получены в связи со звёздными задачами в классическом случае. Звёзды, в которых и давление, и плотность следуют степенным зависимостям от температуры всюду, известны как политропы.
На языке новой температуры t=T/ и новых единиц таких, что 8Gmna=1, система уравнений принимает следующий вид:
=
a
[
t
+
t^3
],
(14.1.10а)
p
=
a
1
3
t
,
(14.1.10б)
dm
dr
=
1
2
[
t
+
t^3
]
r^2
,
(14.1.10в)
dt
dr
=-
r
2
3
4
+
t
1
3
t
+
2m
r^3
x
1
–
2m
r
^1
.
(14.1.10г)
Какие
m=0,
t=t
c
,
при
r=0.
(14.1.11)
Эта задача сформулирована таким способом, что численное решение такой задачи получается очень легко. Мы начинаем решение от центра, где мы знаем, что m(r)=0 и t(r)=tc; мы вычисляем (dm/dr) из соотношения (14.1.10в), и вычисляем (dt/dr) из соотношения (14.1.10г), и затем прыгаем вперёд и назад между этими уравнениями для того, чтобы получить функции m(r) и t(r). Так как производная (dt/dr) будет всегда отрицательна при положительном t, то в некоторой точке r, t обращается в нуль. Мы останавливаем решение в этой точке и предполагаем, что более физическое решение изменило бы только наиболее внешние слои звезды для того, чтобы сделать его убывающим более гладко по направлению к нулевой плотности, без изменения решения во внутренней части области какого угодно большого размера. Таким образом, предполагается, что радиус r - есть радиус звезды, а величина m=m(r) - полная масса звезды.
14.2. Значение решений и их параметры
Решение, которое мы описали, оказывается справедливым для многих типов звёзд, таким образом, звёзды описываются всевозможными значениями параметра . Для того, чтобы дать идею определения величин m и r для интересующих нас случаев, мы даём коэффициенты перевода к более обычным единицам:
M
Масса звезды
=
=(27x10
солнечная масса
)2m/^2
,
(14.2.1а)
R
Радиус звезды
=
(8x10^1^2)r/^2
,
(14.2.1б)
T
c
Температура в центре звезды
=
=
t
c
(10
градусов
),
(14.2.1в)
M
rest
Масса
=
=(27x10
солнечная масса
)2N/^2
.
(14.2.1г)
Существуют различные способы, пользуясь которыми мы можем увидеть, что наши уравнения описывают то, что наша интуиция одобряет. Например, для случая, когда масса m(r) никогда не становится слишком большой, давление меняется в зависимости от радиуса в соответствии с ньютоновским правилом:
dp
dr
=-
m(r)
r^2
.
(14.2.2)
Интересный момент связан с полным числом нуклонов. Хотя мы могли бы иметь искушение записать попросту 4drsr^2, нам бы следовало вспомнить и написать соответствующие инвариантные выражения. Правильное выражение есть
N
=
r
0
s
– g
dr
d
d
,
– g
=
e
/2
e
/2
r^2sin
,
(14.2.3)
где s есть временной компонент четыре-вектора s. Мы можем вычислить эту величину и провести интегрирование в системе, в которой нуклоны находятся в покое, в этой системе только временной компонент оказывается не равным нулю, так что мы приходим к выводу о том, что
s
s
=
(s)^2
=
g
ss
,
s
=
s
e
– /2
.
(14.2.4)
Итак, имеем следующий результат для полного числа нуклонов
N
=
4
r
0
dr
sr^2
1
1-2m/r
.
(14.2.5)
Давайте вновь посмотрим на выражение для массы звезды и попытаемся понять его более полным образом. Плотность есть сумма двух членов, энергии, соответствующей массе покоя s, и энергии излучения . Когда мы выписываем явно массу как интеграл по правильным образом выбранным инвариантным элементам, мы видим, что плотность умножается на некоторую величину, из которой вычисляется квадратный корень,
m<=m
=
4
r
0
r^2dr
1-2m/r
1-2m/r
.
(14.2.6)
Это в точности тот результат, который мы могли бы ожидать из релятивистской теории, множитель с квадратным корнем вносит поправку, учитывающую изменение плотности энергии, обусловленное влиянием гравитационной энергии.
Таблица 14.1.
t
c
r
2m
2N