Физика пространства - времени
Шрифт:
Три принципа, на которых основано преобразование Лоренца
Вывод преобразования Лоренца основывается на трех принципах, которые мы уже можем сформулировать:
1) Коэффициенты преобразования не должны зависеть от того, какое событие рассматривается («ковариантность преобразования»).
2) Выбор коэффициентов преобразования должен соответствовать тому, что точка, фиксированная в системе отсчета ракеты, движется в лабораторной системе отсчета со скоростью r в положительном направлении оси x.
3) Коэффициенты преобразования должны быть такими, чтобы любой интервал имел одно и то же значение в лабораторной
Эти три принципа легко применить к случаю распада -мезона. В лабораторной системе отсчета это событие имеет координаты (x,t) относительно события — рождения мезона, и эти координаты должны быть выражены через скорость r системы отсчета ракеты, в которой -мезон покоится. Эту скорость непосредственно даёт отношение координат x и t,
x
t
=
r
,
так что
x
=
r
t
,
или
x^2
=
r
^2
·
t^2
.
(17)
Первый этап вывода преобразования Лоренца
Временноподобный интервал, образованный x и t, определяется временем жизни -мезона в системе отсчёта ракеты (где мезон покоится в точке x'=0):
t^2-x^2
=
t'^2-x'^2
=
t'^2-0
=
^2
.
Подставим в эту формулу r^2t^2 вместо x^2 на основании уравнения (17). Получим
t^2
–
r
^2t^2
=
t'^2
=
^2
,
или
t^2
=
t^2
1-r^2
=
^2
1-r^2
,
или
t
=
t'
1-r^2
=
1-r^2
.
(Численный пример: положим r=^1^2/ скорости света; тогда 1-r^2=1-^1/=^2/ и (1-^2)^1/^2=^1^3/=2,6. Следовательно, время жизни -мезона, измеренное в лаборатории, в 2,6 раза длиннее «собственного времени жизни», т.е. оно в 2,6 раза длиннее, чем время жизни, измеренное в системе отсчёта, связанной с самим мезоном). Расстояние, пройденное -мезоном, равно времени движения, умноженному на скорость, так что
x
=
r
t
=
rt'
1-r^2
.
Решение задачи о -мезоне
Этим расчётом завершается решение поставленной задачи (найти координаты мировой точки распада -мезона относительно
Задача о -мезоне служила введением к общей задаче — найти координаты данного события в лабораторной системе, если заданы его координаты в системе ракеты. Если мы покажем, что эта задача равнозначна выводу формул преобразования Лоренца, значит, мы пришли к методу вывода этого преобразования, исходя из простейших предположений. На самом деле, мы уже нашли два коэффициента из четырёх в формулах преобразования Лоренца:
t
=
r
t
=
t'
1-r^2
+
Ax'
,
x
=
r
t
=
rt'
1-r^2
+
Bx'
.
Что касается остальных двух коэффициентов, временно обозначенных через A и B, то о них мы ничего не узнали просто потому, что -мезон всё время покоился в точке x'=0 в системе ракеты. Благодаря этому коэффициенты A и B могли иметь любые конечные значения при одном и том же решении
Конечный этап вывода преобразования Лоренца
задачи о мезоне. Чтобы найти значения этих коэффициентов, мы перейдём от специального случая (события — распада E) к более общему случаю — событию, происходящему в точке с произвольными координатами x' и t'. Мы вновь потребуем, чтобы величина интервала была одинаковой в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты. Другими словами, потребуем выполнения равенства
t^2-x^2
=
t'^2-x'^2
,
или
t'
1-r^2
+
Ax'
^2
–
rt'
1-r^2
+
Bx'
^2
=
t'^2-x'^2
,
или
t'^2
+
2(A-rB)x't'
1-r^2
+
(A^2-B^2)
x'^2
=
t'^2
–
x'^2
.
(18)
Это равенство не может выполняться для всевозможных t' и x', если только коэффициенты A и B не выбраны вполне определённым образом. Во-первых, эти коэффициенты должны быть такими, чтобы в левой части равенства (18) обратился в нуль множитель при x't' (так как в правой части подобного члена нет). Тогда
A
=
r
B
.
Во-вторых, множители при (-x'^2) в левой и правой частях равенства (18) должны совпадать. Поэтому
B^2
–
A^2
=
1.
Мы получили два уравнения для двух неизвестных A и B; решая их, найдём
A
=
r
1-r^2
и
B
=
1
1-r^2