Физика в примерах и задачах
Шрифт:
И всё же такие «нефизические» задачи имеют право на существование: во-первых, благодаря своей чёткой постановке (в условии указано, чем пренебречь) они позволяют научиться применять физические законы для количественного анализа искусственно упрощённых явлений; во-вторых, в некоторых случаях такое решение может послужить основой (нулевым приближением) для дальнейших уточнений.
Но вернёмся к нашей «нефизической» задаче. Даже при таких упрощениях на первый взгляд не ясно, с чего начинать. Обратимся к вопросу, поставленному в задаче: при каком условии тело тонет в воде? Тело тонет, если его масса m больше массы воды m того же объёма, что и тело.
Движение тела в воде происходит под действием двух постоянных сил: силы тяжести mg и выталкивающей силы Архимеда -mg, и, следовательно, будет равнопеременным с ускорением a=g(1-m/m). Поскольку скорость тела перед входом в воду v=2gh то перемещение тела в воде за время t
s
=
2gh
t
+
1+
m
m
gt^2
2
.
Во втором случае, когда тело сброшено с высоты kh перемещение тела в воде за то же время t
s
=
2kgh
t
+
1+
m
m
gt^2
2
.
По условию задачи s/s=l т.е.
2kgh +
1+
m
m
gt
2
2gh +
1+
m
m
gt
2
=
l
.
(1)
Обозначим для удобства (1-m/m)gt/2 через x. Тело будет тонуть при m/m<1, т.е. при x>0. Запишем уравнение (1), используя введённое обозначение:
2kgh
+
x
=
l(
2gh
+x)
.
(2)
Выясним, при каком условии корень этого уравнения x=2gh(k-l)/(l-1) положителен. Элементарным анализом можно убедиться, что при k>1 значение x положительно при l<k а при k<1 значение x>0 при l>k.
Таким образом, полученный результат можно сформулировать следующим образом. Тело будет тонуть в воде, если при увеличении начальной высоты в k раз глубина погружения за первую секунду увеличится менее чем в k раз. Если же глубина погружения за первую секунду возрастёт более чем в k раз, то тело будет всплывать.
Подумаем теперь, как можно уточнить решение этой задачи, если отказаться от некоторых из сделанных выше упрощающих предположений. Оказывается, сравнительно просто можно учесть движение воды, вытесняемой телом.
Прежде всего отметим, что при равномерном движении тела в жидкости сопротивление, которое оказывает жидкость его движению, обусловлено силами вязкого трения. Однако при неравномерном движении картина будет существенно иная. Даже при движении в идеальной жидкости следует учитывать, что ускорение сообщается не только телу, но и частицам самой жидкости. Как это скажется на движении тела?
Чтобы покоившееся тело массы m привести в движение со скоростью v, нужно совершить работу, равную mv^2/2. Из-за увлечения жидкости, окружающей тело, её частицы приобретут скорости, пропорциональные скорости тела v. В результате увлечённая телом жидкость будет обладать кинетической энергией, пропорциональной v^2, для сообщения которой потребуется дополнительная работа.
A
=
Mv^2
2
,
где M>v приходим к выводу, что при погружении тела в жидкость оно будет двигаться под действием внешних сил так, как будто его масса увеличилась. Дополнительная, так называемая присоединённая масса характеризует инертные свойства окружающей жидкости. Значение присоединённой массы зависит от плотности жидкости и формы тела.
Посмотрим, что изменится в решении задачи при учёте присоединённой массы. Очевидно, что ускорение тела при его движении в жидкости под действием силы тяжести mg и выталкивающей силы mg будет равно a'=g(m-m). Именно на эту величину заменится ускорение a=g(1-m/m) в выражениях для t и t и в уравнении (1). Если теперь через x обозначить g(m-m)t/2M, то уравнение (2) будет иметь прежний вид. Так как тело тонет при m>m, то из уравнения (2), как и раньше, нужно найти условия, при которых x>0.
Таким образом, учёт присоединённой массы не изменяет ответа в этой задаче.
3. Санки на горе.
Склон горы образует угол с горизонтом. Под каким углом (рис. 3.1) следует тянуть за верёвку, чтобы равномерно тащить санки в гору с наименьшим усилием? Какова должна быть эта сила?
Рис. 3.1. Под каким углом следует тянуть за верёвку?
Рис. 3.2. Силы, действующие на санки
Считая санки материальной, точкой, можно принять что все действующие на санки силы - и сила тяжести mg, и сила реакции поверхности горки Q, и сила F, с которой тянут за верёвку, - приложены в одной точке (рис. 3.2). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:
F
+
Q
+
mg
=
0.
(1)
Для исследования уравнения (1) спроецируем это векторное равенство на два взаимно перпендикулярных направления: вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. При этом учтём, что проекция силы Q на направление нормали к плоскости есть нормальная сила реакции N, а проекция Q на направление вдоль плоскости есть сила трения скольжения Fтр. В результате вместо (1) получим
F cos
–
F
тр
–
mg sin
=
0,
(2)
F sin
+
N
–
mg cos
=
0.
(3)
Для исследования зависимости силы F от угла необходимо исключить из этих уравнений N и Fтр, так как они сами зависят от угла . На основании закона Кулона - Амонтона
F
тр
=