Физика в примерах и задачах
Шрифт:
0
=
(a+b)
tg
–
g(a+b)^2
2v^2
(1+tg^2)
.
(2)
Выражая из (2) начальную скорость v и подставляя в (1), получим уравнение траекторий, проходящих через цель:
y
=
x
1
–
x
a+b
tg
.
(3)
Придавая разные значения в пределах от 0 до /2, получаем все траектории, изображённые на рис. 6.1. Выделенная
y
=
x
1
–
x
a+b
.
(4)
Выясним теперь, при каком условии эта траектория проходит над стеной. Для этого найдём высоту h точки траектории при x=a:
h
=
a
1
–
a
a+b
=
ab
a+b
.
Таким образом, если высота стены h меньше, чем h то искомая траектория определяется выражением (4), а соответствующая ей начальная скорость v легко находится из уравнения (2) при tg =1:
v
min
=
g(a+b)
Это есть обычное соотношение между начальной скоростью и максимальной дальностью полёта по горизонтали.
Определим теперь искомую траекторию, если стена выше выделенной траектории: h>h Как уже отмечалось, в этом случае нужно найти траекторию, проходящую через верхний край стены, т.е. положить в (3) y=h при x=a:
h
=
a
1
–
a
a+b
tg
,
откуда tg =h(a+b)/ab Уравнение искомой траектории получим, подставив найденное значение tg в формулу (3):
y
=
x
1
–
x
a+b
a+b
ab
h
.
Отметим, что для ответа на поставленные в задаче вопросы это уравнение нам не требуется, но оно даёт возможность проследить, через какие точки мина летит к цели. Для нахождения соответствующей этой траектории начальной скорости нужно подставить полученное значение tg в уравнение (2):
v^2
min
=
gab
2h
1
+
h
a+b
ab
^2
.
Итак, резюмируя изложенное, сформулируем ответ:
если
h
<=
ab
a+b
, то
=
4
,
v^2
=
g(a+b)
;
если
h
>=
ab
a+b
, то
=
arctg
h
a+b
ab
,
v^2
=
gab
2h
1+
h
a+b
ab
^2
.
Полезно
Бессмысленно полагать a=0 или b=0 при h/=0, но, несомненно, представляет интерес случай, когда a и b одновременно стремятся к нулю (при h/=0). В этом предельном случае требуется просто перебросить мину через стену, Ответ в этом случае очевиден: стрелять нужно вертикально вверх (=/2), а начальная скорость v=2gh. Покажем, как получить этот результат из ответа к задаче. Здесь, конечно, нужно обращаться к случаю h>=ab/(a+b). Полагая a=b и одновременно устремляя их к нулю, получим ->/2 и
v^2
=
g
2h
ab
+
h^2
(a+b)^2
ab
=
g
2h
(a^2+4h^2)
– >
2gh
.
7. Простреливаемая область.
Зенитное орудие может сообщить снаряду начальную скорость v в любом направлении. Требуется найти зону поражения, т.е. границу, отделяющую цели, до которых снаряд из данного орудия может долететь, от недостижимых целей. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Попробуем сначала выяснить, что можно сказать об этой границе, не решая задачи. Сам факт существования такой границы сомнений не вызывает, так что поставленный в задаче вопрос имеет смысл (кстати, начиная решать задачу, никогда не вредно подумать об этом). Попытаемся представить себе искомую границу. Очевидно, что она представляет собой некоторую поверхность. Если цель находится точно над орудием, то стрелять нужно вертикально вверх. Снаряд при этом поднимается на высоту h=v^2/2g после чего начинает падать вниз, так что граница достижимых целей пересекает вертикаль в точке, находящейся на высоте h.
Рис. 7.1. Граница простреливаемой области
Если ограничиться целями, находящимися на горизонтальной плоскости, то очевидно, что граница представляет собой окружность, радиус которой равен максимальной дальности полёта снаряда по горизонтали s=v^2/g (напомним, что максимальная дальность полёта по горизонтали достигается при угле возвышения ствола орудия =/4). Эта окружность есть пересечение искомой поверхности с горизонтальной плоскостью (рис. 7.1). Вообще из симметрии можно сделать вывод, что искомая поверхность представляет собой поверхность вращения некоторой кривой вокруг вертикали, проходящей через орудие, и задача сводится к нахождению этой кривой. Отметим, что кривая есть огибающая всех возможных траекторий (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Граница является огибающей для траекторий
Приступим к решению задачи. Выберем систему координат: орудие расположим в начале координат, ось x направим горизонтально, ось y - вертикально. Тогда зависимость координат снаряда от времени имеет вид
x(t)
=
v
cos ·t
,
y(t)
=
v
sin ·t
–
gt^2
2
.
<