Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Ответ на поставленный в задаче вопрос - формула (5) для наибольшей высоты подъёма отрывающихся капель - -получен путём исследования на максимум квадратного трехчлена (4) относительно sin . Этот результат можно получить и иначе. Будем рассуждать следующим образом. Зафиксируем некоторое значение ymax и решим уравнение (4) относительно sin :
sin
1,2
=
gR
v^2
±
gR
v^2
^2
+1-
2gymax
v^2
1/2
.
(6)
Здесь
Итак, получено исчерпывающее решение этой задачи. Как и предыдущие задачи, мы решили её, используя уравнения движения (1) и (2), которые дают зависимость координат движущегося тела от времени. Эти уравнения содержат всю информацию о движении тела. Но во многих случаях полная информация бывает не нужна. Например, в обсуждаемой задаче нас совершенно не интересуют временные зависимости - требуется найти лишь положение точки наивысшего подъёма капли, а момент времени, когда капля там оказывается, интереса не представляет. В подобных случаях часто оказывается удобным с самого начала исключить избыточную информацию, воспользовавшись законами сохранения. В рассматриваемой задаче можно сразу получить соотношение (4) для наибольшей высоты подъёма капель, если применить закон сохранения механической энергии. Полагая потенциальную энергию капли на уровне оси колеса равной нулю, для полной энергии капли в точке отрыва имеем
E
=
mg
R sin
+
mv^2
2
.
В высшей точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль. Поскольку горизонтальная составляющая скорости не меняется, энергия в высшей точке
E
=
mg
y
max
+
m(v sin )^2
2
.
Приравнивая E и E, получаем формулу (4). Как видите, во многих задачах не вредно подумать о том, нельзя ли упростить решение, используя законы сохранения!
9. Капли с вращающегося колеса.
«Мокрое» колесо равномерно вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси. С обода срываются капли. Найти границу «сухой» области.
Рис. 9.1. В отсутствие тяжести капли движутся прямолинейно
Движение оторвавшихся капель происходит под действием силы тяжести, которая всем каплям сообщает одинаковое ускорение g. Это позволяет сначала отвлечься от наличия тяготения. Рассмотрим движение капель, оторвавшихся от обода колеса в один и тот же момент. В отсутствие ускорения свободного падения капли движутся по прямым линиям. В любой момент времени t все капли лежат на окружности
r^2(t)
=
R^2
+
(vt)^2
,
(1)
где R - радиус колеса, v - скорость точек обода.
Радиус окружности r увеличивается с течением времени, а при наличии тяготения вся эта окружность ещё и «падает» с ускорением свободного падения g. Если начало координат выбрано в центре колеса, то в любой момент времени t ордината центра окружности равна -gt^2/2. Уравнение «падающей» окружности в этой системе координат имеет вид
x^2
+
y
+
gt^2
2
^2
=
r^2(t)
.
(2)
Рис. 9.2. Граница «мокрой» области как огибающая окружностей
Уравнение (2) есть уравнение целого семейства окружностей: придавая r разные значения, получаем окружности, на которых находятся капли в различные моменты времени. Легко сообразить, что искомая граница есть огибающая этого семейства окружностей (рис. 9.2). Ясно, что высшая точка этой границы лежит точно над осью колеса. Другими словами, уравнение (2) определяет всю «мокрую» область (рис. 9.3), и для решения задачи нам нужно найти границу заштрихованной области.
Рис. 9.3. «Мокрая» область заштрихована
Будем искать эту границу следующим образом. Заметим, что капли, оторвавшиеся от колеса в один и тот же момент времени, достигают границы в разные моменты времени: граница касается разных окружностей. Проведя горизонтальную прямую на некотором уровне Y, найдём на ней наиболее удалённую от оси y «мокрую» точку, не задумываясь о том, какой окружности она принадлежит. Абсциссу X точки пересечения любой окружности с этой прямой можно найти, подставив в уравнение окружности (2) ординату y=Y и радиус r из уравнения (1):
X^2
=
R^2
+
v^2t^2
–
Y
+
gt^2
2
^2
.
(3)
Легко видеть, что правая часть (3) есть квадратный трехчлен относительно t^2:
X^2
=-
g^2t
4
+
(v^2-gY)r^2
+
R^2
–
Y^2
.
Его максимальное значение
X^2
=
R^2
+
v
g^2
–
2v^2
g
Y
.
(4)
Разрешая (4) относительно Y, получаем уравнение границы «сухой» области:
Y
=-
g
2v^2
X^2
+
gR^2
2v^2
+
v^2
2g
.
(5)
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится на оси y на высоте
gR^2
2v^2