Физика в примерах и задачах
Шрифт:
r(t)
=
r
+
vt
,
(1)
а для равнопеременного движения с ускорением a
r(t)
=
r
+
vt
+
at^2
2
.
(2)
В этих формулах r характеризует начальное положение точки, т.е. r=r(t)|t=0=r(0), v - начальная скорость.
Подчеркнём, что в кинематике ускорение считается заданным. Ускорение находится либо опытным путём, либо расчётным с помощью законов динамики, когда известны силы, определяющие характер движения. Забегая вперёд, отметим, что уравнение (1) описывает движение материальной точки в инерциальной системе
Итак, функция r(t) содержит полную информацию о кинематике движения тела, т.е. ответ на любой вопрос в кинематических задачах можно получить, используя только зависимость r(t). Никаких других физических законов при этом привлекать не требуется. Например, зависимость мгновенной скорости точки от времени в однородном поле может быть получена из соотношения (2) дифференцированием радиус-вектора по времени и имеет вид
v(t)
=
v
+
at
.
При решении задач мы будем записывать уравнение (2) непосредственно в проекциях на оси координат. При постоянном ускорении a всегда можно выбрать систему координат таким образом, чтобы векторное уравнение (2) сводилось к двум скалярным: так как траектория, по которой движется тело, плоская, то нужно просто совместить, например, плоскость x, y с плоскостью, в которой лежит траектория. Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно двум скалярным уравнениям
x(t)
=
x
+
v
x
t
+
axt^2
2
,
y(t)
=
y
+
v
y
t
+
ayt^2
2
.
(3)
В частности, если рассматривать движение тела вблизи поверхности Земли под действием только силы тяжести, то удобно направить ось y вертикально вверх. Тогда вектор ускорения имеет только одну отличную от нуля проекцию: ax=0, ay=-g, и система (3) принимает вид
x(t)
=
x
+
v
x
t
=
x
+
v
cos ·t
,
y(t)
=
y
+
v
y
t
–
gt^2
2
=
y
+
v
sin ·t
–
gt^2
2
,
(4)
где - угол, образованный вектором начальной скорости с горизонтом. Иногда удобно поместить начало координат в начальную точку траектории, тогда x=y=0.
При равномерном движении материальной точки по окружности скорость изменяется только по направлению, оставаясь неизменной по модулю. Ускорение при этом направлено к центру окружности перпендикулярно скорости, т.е. по нормали к траектории, и равно по модулю
a
=
v^2
R
,
(5)
где R - радиус окружности. Эта же формула справедлива и при движении точки с постоянной по модулю скоростью v по произвольной криволинейной траектории. В этом случае R есть радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Ускорение при этом направлено к центру кривизны, т. е, перпендикулярно скорости, направленной по касательной к траектории. Если же скорость меняется по модулю, то у вектора ускорения кроме нормальной составляющей, даваемой той же формулой (5), будет ещё составляющая, направленная по вектору скорости или против него, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается скорость движущейся материальной точки.
Решение
Разные подходы нередко оттеняют новые стороны изучаемого явления, позволяя глубже проникнуть в его физический смысл. Поэтому в большинстве разбираемых задач приводятся различные варианты решения.
1. Переправа.
Представим себе реку с параллельными берегами, расстояние между которыми l (рис. 1.1). Скорость течения по всей ширине реки одинакова и равна u.
Рис. 1.1. Скорость течения u в любом месте реки одинакова
С какой наименьшей постоянной скоростью vmin относительно воды должна плыть лодка, чтобы из точки A попасть в точку B на противоположном берегу, находящуюся на расстоянии s ниже по течению? На какое минимальное расстояние smin снесёт лодку вниз по течению при переправе на другой берег, если модуль её скорости относительно воды равен v?
Рис. 1.2. Скорость лодки относительно берегов V равна сумме векторов u и v
Чтобы ответить на эти вопросы, нужно прежде всего отчётливо представить себе, что скорость лодки относительно берегов V есть векторная сумма скорости течения u и скорости лодки относительно воды v (рис. 1.2):
V
=
u
+
v
.
(1)
Будем считать, что лодка имеет относительно воды некоторую неизменную по модулю скорость v. Тогда, отправляясь из точки A, лодка сможет попасть в точку B только в том случае, если её скорость относительно берегов V удастся направить по прямой AB или левее этой прямой. Если ни при каком направлении v мы не сможем получить в начальный момент результирующую скорость V вдоль прямой AB, то лодку обязательно снесёт течением ниже точки B (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Выбор направления скорости лодки v для переправы из A в B
Рис. 1.4. К вычислению минимальной скорости vmin
Нужное нам направление вектора V может быть получено при разных значениях вектора v. Скорость течения u во всех случаях направлена одинаково и изображается одним и тем же вектором. Скорость лодки относительно воды v может быть направлена по-разному. Из рис. 1.3 видно, что эта скорость будет наименьшей в том случае, когда скорость лодки относительно берега V направлена именно по прямой AB, а скорость v перпендикулярна этой прямой. Этот случай показан на рис. 1.4. Из подобия изображённых прямоугольных треугольников находим
vmin
u
=
l
l^2+s^2
.
(2)
Отметим, что если мы хотим попасть в точку B, двигаясь с минимальной возможной скоростью vmin, то нам придётся направить нос лодки перпендикулярно выбранной траектории лодки AB. Лодку будет сносить течением, и в результате она будет боком приближаться к намеченной цели!
Возвращаясь к рис. 1.3, мы видим, что для получения ответа на первый вопрос задачи нам пришлось проанализировать треугольник, соответствующий закону сложения скоростей (1). В этом треугольнике одна из сторон (u) была задана по модулю и направлению. Направление другой стороны (V) мы выбрали, исходя из условия задачи - требования попасть в точку B. Тогда для получения минимального значения модуля третьей стороны (v) её нужно было направить перпендикулярно выбранному направлению V