Физика в примерах и задачах

Кондратьев Александр Сергеевич

Рис. 1.5. Выбор направления для переправы с минимальным сносом

Аналогичные рассуждения можно использовать и для ответа на второй вопрос задачи. Вектор скорости течения u и в этом случае задан по модулю и направлению. Что касается второго слагаемого в правой части выражения (1) - скорости лодки относительно воды v, то заранее известен только её модуль v, а направление может быть любым. Если начало вектора v совместить с концом вектора u (рис. 1.5), то конец вектора v может лежать в любой точке окружности радиуса v. Из рис. 1.5б

сразу видно, что снос лодки течением неизбежен, если v<u Если же скорость лодки v больше скорости u, то при должном выборе направления v можно добиться того, что сноса вообще не будет (рис. 1.5а). Более того, при v>u можно, переправляясь через реку, причалить к противоположному берегу в любом месте выше по течению.

Анализ рис. 1.5б показывает, что при v<u снос будет минимальным, если скорость лодки относительно берегов V направлена по касательной к окружности радиуса v Сравнивая изображённые на этом рисунке подобные треугольники, находим минимальный снос лодки s_min:

s

_min

=

lu^2-v^2

v

,

v<u

.

(3)

Посмотрите ещё раз на рис. 1.5б и сообразите, куда следует направлять нос лодки при переправе, чтобы её снос течением был минимальным.

2. Как опередить автобус?

Человек находится в поле на расстоянии l от прямолинейного участка шоссе. Справа от себя он замечает движущийся по шоссе автобус. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автобуса как можно дальше от него? Скорость автобуса u, скорость человека v.

Интерес, разумеется, представляет только случай v<u, так как при v>u человек может убежать от автобуса на любое расстояние.

Рис. 2.1. Бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути

Чтобы выбежать на шоссе как можно раньше, человек должен избрать кратчайший путь. Если при этом он даже и успеет выбежать на шоссе впереди автобуса, то всё равно расстояние до автобуса не будет максимальным из возможных. В самом деле, если бежать не перпендикулярно шоссе, а под некоторым небольшим углом к перпендикуляру (рис. 2.1), то путь человека до шоссе увеличится на величину l, но зато он выбежит на дорогу на расстоянии d левее точки B. Если выбрать угол достаточно малым, то расстояние d можно сделать больше расстояния l в любое число раз. Поэтому, несмотря на то что скорость человека v меньше скорости автобуса u, он окажется на шоссе на большем расстоянии от автобуса, чем в точке B.

В каком же направлении следует бежать человеку? Оказывается, что на этот вопрос легко ответить, если перейти в другую систему отсчёта, в которой автобус покоится. Эта система отсчёта движется относительно земли в левую сторону со скоростью u. В данной системе неподвижно стоящий на земле человек имеет скорость u, направленную вправо (рис. 2.2). Полная скорость человека в новой системе отсчёта V равна векторной сумме u и скорости человека относительно земли v.

Рис. 2.2. Скорость человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен

Теперь нетрудно сообразить, что эта задача эквивалентна рассмотренной выше задаче о минимальном сносе лодки при переправе на другой берег реки. Так как в рассматриваемой системе

отсчёта автобус неподвижен, то требование выбежать на шоссе как можно дальше от автобуса равносильно требованию минимального сноса лодки при переправе через реку. Поэтому искомое направление вектора v определяется таким же построением, как и в предыдущей задаче (рис. 2.3). Траектория человека в системе отсчёта, где автобус неподвижен, - это прямая AC. Траектория же в системе отсчёта, связанной с землёй, - прямая AD.

Рис. 2.3. К нахождению направления движения человека

Таким образом, бежать к шоссе нужно не по кратчайшему пути, а под углом к нему, причём

sin

=

v

u

Из рис. 2.3 видно, что человек сможет прибежать на шоссе раньше автобуса только в том случае, если в начальный момент автобус находится от точки B на расстоянии, не меньшем

s

_min

=

lu^2-v^2

v

.

Рассмотренная задача может служить примером того, как удачный выбор системы отсчёта позволяет значительно облегчить решение.

3. Радиус кривизны.

Найти радиус кривизны циклоиды в верхней точке её дуги - в точке A на рис. 3.1.

Рис.3.1. Циклоида

Нахождение радиуса кривизны заданной кривой - это, разумеется, чисто геометрическая задача. Для её решения достаточно знать уравнение кривой. Поэтому на первый взгляд не ясно, какое отношение к физике имеет поставленный в задаче вопрос.

Однако иногда такие задачи можно очень просто решить, воспользовавшись тем, что радиус кривизны кривой входит в некоторые кинематические формулы. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую геометрическую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики.

Рис. 3.2. Циклоида как траектория точки обода катящегося колеса

Циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса, которое катится без проскальзывания по прямой. На рис. 3.2 показана циклоида, которую «вычерчивает» точка A, находившаяся внизу в начальный момент. Точка A описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало. Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого v равна произведению угловой скорости на радиус колеса r.

Во всех инерциальных системах отсчёта материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчёта. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение a любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется выражением

a

=

v^2

r

.

(1)

Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно v^2/r и направлено вниз (рис. 3.2).