ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Хофштадтер Даглас Р.

Следующее высказывание ложно.

Предыдущее высказывание истинно.

Вместе эти высказывания производят такой же эффект, как первоначальный парадокс Эпименида; однако взятые по отдельности они безобидны и даже полезны Ни одно из них не может нести ответственности за Странную Петлю; виновато их объединение, то, как они указывают друг на друга. Точно так же каждый взятый по отдельности кусок «Подъема и спуска» совершенно правилен; невозможно лишь подобное соединение этих кусков в одно целое Видимо, существуют прямой и косвенный типы автореферентности; если мы считаем, что в автореферентности — корень зла, то мы должны найти способ избавиться сразу от обоих типов.

Изгнание Странных Петель

Рассел

и Уайтхед считали именно таких труд «Основания математики» («ОМ») был титаническим усилием, направленным на изгнание Странных Петель из логики, теории множеств и теории чисел. В основе их системы лежала следующая идея. Множество «низшего» типа могло иметь своими элементами лишь «предметы», а не множества. На следующей ступени стояли множества, которые могли содержать предметы или множества первого типа. Вообще, любое данное множество могло содержать лишь множества низшего типа или предметы. Каждое множество принадлежало к определенному типу. Ясно, что никакое множество не могло содержать самого себя, так как оно оказалось бы тогда принадлежащим к более высокому типу, чем его собственный. В такой системе существуют лишь обыкновенные множества; более того, наш старый знакомец, множество R, теперь вообще не считается множеством, так как оно не принадлежит ни к одному конечному типу! По всей видимости, эта теория типов, которую мы также могли бы именовать «теорией уничтожения Странных Петель», преуспела в избавлении теории множеств от парадоксов — но только ценой введения искусственной иерархии и запрета на определенный тип множеств, такой, например, как множество всех «заурядных» множеств. Интуитивно это идет вразрез с нашим представлением о множествах.

Теория типов справилась с парадоксом Рассела, но ничего не предприняла в отношении парадоксов Эпименида или Греллинга. Для тех, чей интерес не шел дальше теории множеств, этого было достаточно; однако людям, заинтересованным в уничтожении парадоксов вообще, казалось необходимым создание подобной иерархии в языке, чтобы изгнать оттуда Странные Петли. На первой ступеньке такой иерархии стоял бы предметный язык, на котором возможно говорить лишь об определенной сфере предметов, но нельзя говорить о самом предметном языке, обсуждать его грамматику или какие-либо высказывания, для этого понадобился бы метаязык. (Опыт двух различных лингвистических уровней знаком любому, кто изучал иностранные языки.) В свою очередь, что­бы говорить о метаязыке, потребовался бы метаметаязык, и так далее. Каждое высказывание должно было принадлежать к определенному уровню иерархии. Таким образом, если бы мы не могли найти для данного высказывания места в иерархической структуре, мы должны были бы считать такое высказывание бессмысленным и как можно скорее выбросить его из головы.

Можно попытаться проанализировать таким образом двуступенчатую петлю Эпименида, приведенную выше. Первое высказывание, поскольку оно говорит о втором, должно быть уровнем выше последнего; однако точно такое же рассуждение применимо и ко второму высказыванию. Поскольку это невозможно, оба высказывания «бессмысленны». Точнее, они вообще не могут существовать в системе, основанной на строгой иерархии языков. Это предупреждает возникновение любых версий парадокса Эпименида или Греллинга (К какому уровню принадлежит «самоописывающий»?)

В теории множеств, имеющей дело с абстракциями, далекими от повседневной жизни стратификация теории типов еще приемлема, хотя и выглядит натянутой. Когда же дело доходит до языка, важнейшей и ежедневно употребляемой части нашей жизни, такая стратификация кажется абсурдом. Трудно поверить что, разговаривая, мы скачем вверх и вниз по иерархии языков. Довольно обычное высказывание, такое как, например, «В этой книге я критикую теорию типов», было бы дважды запрещено в подобной системе. Во-первых, оно упоминает «эту книгу», которая должна бы упоминаться только в «метакниге», и во-вторых, оно упоминает обо мне — существе, о котором я не должен бы говорить вообще. Этот пример показывает, насколько нелепо выглядит теория типов в повседневном контексте. В данном случае, лекарство хуже самой болезни метод, используемый этой теорией, чтобы избавиться от парадоксов, заодно объявляет бессмыслицей множество вполне правильных конструкций. Эпитет «бессмысленный» кстати, был бы

приложим к любому обсуждению теории лингвистических типов (и в частности, к данному параграфу), так как ясно, что никакое из них не может принадлежать ни к одному из уровней — ни к предметному ни к метаязыку, ни к метаметаязыку, и т. д. Таким образом, сам акт обсуждения теории оказывался бы ее грубейшим нарушением.

Конечно, мы могли бы попытаться защитить подобные теории, обговорив, что они имеют дело только с формальными языками, а не с повседневным, обыкновенным языком. Может, оно и так, но тогда такие теории оказываются чисто академическими и имеют дело с парадоксами только тогда, когда те возникают в специальных сделанных по заказу системах. К тому же, стремление уничтожить парадоксы любой ценой, особенно ценой создания чрезвычайно искусственных формализмов, придает слишком много значения плоской последовательности и логичности, и слишком мало — тому причудливому и замысловатому, что придает вкус жизни и математике. Вне сомнения, стараться быть последовательным важно, но когда это старание приводит к созданию удивительно неуклюжих и уродливых теорий, становится ясно, что здесь что-то не в порядке.

В начале двадцатого века, проблемы подобного типа в основах математики вызвали живой интерес к кодификации методов логического мышления. Математики и философы начали сомневаться в том, что даже самые конкретные теории, такие, как теория чисел, построены на прочном фундаменте. Если парадоксы могли возникнуть в теории множеств, основанной на простых интуитивных понятиях, то почему бы им не проникнуть и в другие области математики? А что, если логические парадоксы, такие как парадокс Эпименида, свойственны математике в целом, и, таким образом, ставят всю ее под сомнение? Подобные проблемы тревожили в первую очередь тех — а их было немало — кто твердо верил в то, что математика — лишь один из разделов логики (или, наоборот, что логика — лишь один из разделов математики). Уже сам этот вопрос, «являются ли математика и логика отдельными и непохожими дисциплинами?», вызывал горячие споры.

Изучение самой математики получило название метаматематики или, иногда, металогики, поскольку математика и логика тесно переплетены. Важнейшей задачей метаматематиков было определение природы математических рассуждений. Что является законным методом рассуждений и что — незаконным? Поскольку рассуждения велись на каком-либо «естественном языке», скажем, французском или латинском, всегда были возможны двусмысленные и неясные толкования. Одно и то же слово может иметь разные значения для разных людей, вызывать различные образы, и так далее. Хорошей и важной идеей казалось установление единой нотации, с помощью которой велись бы все математические рассуждения, так чтобы два математика всегда могли договориться о том, верно ли предложенное доказательство. Эта задача потребовала бы кодификации всех общепринятых методов человеческих рассуждений, по крайней мере постольку, поскольку они приложимы к математике.

Последовательность, полнота, и программа Гильберта

Такая кодификация являлась основной идеей системы «Оснований математики» («ОМ»), авторы которой задались целью вывести всю математику из логики, причем без малейших противоречий! Многие восхищались их грандиозным трудом, но никто не был уверен в том, что 1) методы Рассела и Уайтхеда действительно описывают всю математику и 2) эти методы достаточно последовательны и корректны. Действительно ли при следовании этим методам никогда и не при каких условиях не могло возникнуть парадоксов?

Этот вопрос особенно тревожил знаменитого немецкого математика (и метаматематика) Дэвида Гильберта, кто поставил перед математиками (и метаматематиками) всего мира следующую задачу: со всей строгостью доказать, возможно, при помощи самих методов Рассела и Уайтхеда, что эти методы, во-первых, непротиворечивы и во-вторых, полны (иными словами, что в системе «ОМ» может быть выведено любое истинное высказывание). Эта задача весьма непростая, и ее можно критиковать за некоторую «порочную кругообразность», как можно пытаться доказать какие-либо методы рассуждения, пользуясь этими же методами? Это все равно, что пытаться поднять самого себя на воздух за шнурки от собственных ботинок. (Кажется, нам-таки никуда не деться от этих Странных Петель)