Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Петров Александр Николаевич

Рис. 5.3. Переход к другой инерциальной системе на диаграмме пространства Минковского

Эффекты сокращения длины, замедления времени, сложение скоростей в СТО являются следствием лоренц-инвариантности. Остановимся на первых двух. Рассмотрим линейку, собственная длина которой l₀ – это длина в ее системе покоя. Пусть система покоя для выбранной линейка – это система K’, которая движется относительно нас (системы K) со скоростью V. Тогда, если концы линейки имеют координаты

x₁' и x₂',

то l₀ = x₂' – x₁'.

Определим длину этого отрезка с точки зрения наблюдателя системы K. Для этого нужно в один и тот же (!) момент времени t определить координаты концов линейки x₂ и x₁ в системе K. Тогда для нас длина линейки буде иметь величину l = x₂ – x₁. Чтобы определить каждое из значений x₂ и x₁ через соответствующие штрихованные координаты используем первую часть преобразований Лоренца (Б) каждый раз с одним и тем же значением t. Затем составим разницу и получим

, то есть для нас (покоящейся системы K) движущаяся линейка становится короче.

Подтвердим вывод о замедлении времени. Находясь в системе K, будем отслеживать ход часов в системе K', которые находятся в точке x'. Для нас часы в системе K идут одинаково во всех точках, поэтому часы системы K' можно сравнивать с любыми нашими. Не теряя общности, можно предположить, что x' = 0 и моменты первого сравнения в обеих системах также нулевые: t₁' = t₁ = 0. Вопрос в том, как начнут разниться показания в любой следующий момент сравнения t₂ (а для системы K' – t₂'). Теперь удобнее использовать вторую часть преобразований Лоренца (А). Получаем

 . Как видно, показания часов в нашей системе K будут больше, чем в K', хотя в обоих случаях отсчет начинался с нуля. Таким образом, движущиеся часы идут медленнее.

На этом этапе важно сделать замечание. Мы все больше убеждаемся, что пространство и время физически объединены в единое целое – пространственно-временной континуум. Действительно, и пространственные, и временные координаты участвуют в единых преобразованиях; инвариантная величина интервал построена как из временных промежутков, так и из пространственных отрезков. Несмотря на это, и пространство, и время сохраняют свою физическую сущность – протяженность и длительность. Формально это различие состоит в том, что временная часть входит в интервал со знаком «плюс», а пространственная – со знаком «минус».

Мы уже отметили, что квадраты интервалов могут быть положительными, нулевыми и даже отрицательными. Для положительных – временная часть превосходит пространственную, и они называются времениподобными. Нулевые соответствуют распространению света и называются светоподобными; совокупность светоподобных, представляющая распространение световых лучей из какой-либо мировой точки, образует, так называемый, световой конус в пространстве Минковского. На рис. 5.4 такой световой конус относится к началу координат и делит пространство-время на две части: внутри и вне конуса. Наконец, для отрицательных квадратов интервалов, пространственная часть превышает временную, и они называются пространственноподобными.

Для нас более интересны времениподобные интервалы. Почему? Отрезок прямой 0A, соединяющий мировую точку внутри конуса и начало координат на рис 5.4 вполне можно интерпретировать как путь материальной частицы, движущейся прямолинейно и равномерно. Скорость ее меньше скорости света, и поэтому путь находится внутри конуса. Квадрат интервала между точкой А

и началом координат s² = c ²t ² – xА²  – положительный, и это относится ко всем мировым точкам внутри конуса, скажем A'. Наклон соответствующих отрезков пути меньше, чем у светового конуса. Если бы мы попытались интерпретировать отрезки пути с наклоном больше, чем у светового конуса, как путь материальной частицы, то нужно было бы говорить о скоростях больших скорости света. Но для материальной частицы это невозможно, мы об этом еще скажем.

Рис. 5.4. Интервалы в пространстве Минковского

Продолжим обсуждение времениподобных интервалов. На рис. 5.4 отрезок на временной оси, скажем, от начала координат до точки ct, определяет, конечно, такой интервал. В чем его смысл? Он соответствует наблюдателю, который покоится в этой инерциальной системе отсчета, а соответствующий интервал определяет промежуток времени жизни наблюдателя между этими событиями: s = ct. После лоренцева вращения этот отрезок станет наклонным. (Другими словами: в другой инерциальной системе этот наблюдатель будет двигаться прямолинейно и равномерно.) Однако, в силу лоренц-инвариантности значение интервала для этого отрезка не изменится, хотя примет другое выражение: s = (c²t'² – x'²)^1/2. Это позволяет сделать важный вывод, давайте его зафиксируем:

Времениподобный интервал s между двумя событиями на мировой линии наблюдателя определяет промежуток собственного времени наблюдателя между этими двумя событиями: =s/c. Еще и поэтому такие интервалы называют времениподобными.

Перейдем к обсуждению светоподобных интервалов. Отрезок прямой 0C на конусе на рис. 5.4 вполне можно интерпретировать как путь фотона (луча света), движущего прямолинейно и равномерно со скоростью света. Действительно, лучу света отвечают прямые x = ct и x = – сt. Это как раз подтверждает, что интервал между любыми двумя мировыми точками на такой прямой равен нулю, т. е. светоподобный. Например, между началом координат и точкой C: s² = c²t ² – x_с² = 0, или между началом координат и точкой C', или между точками C и C' и т. д.

А теперь дадим еще одно определение. Множество мировых точек, описывающее движения в зависимости от времени материальной частицы (в том числе и безмассовой, как фотон) на пространственно-временной диаграмме (в данном случае на диаграмме пространства Минковского) называется мировой линией. Если интервалы для любых двух точек на прямых мировых линиях времениподобны или светоподобны, то сами линии, соответственно, времениподобные или светоподобные. Конечно, мировые линии могут быть и искривленными. В этом случае, чтобы они соответствовали реальным частицам необходимо, чтобы углы наклона всех касательных не превышали угол наклона светового конуса. Тогда скорость частицы не превысит световую.

Также не нужно путать понятие мировой линии с обычной траекторией частицы в 3-мерном пространстве. Мировая линия – это путь на пространственной-временной диаграмме, траектория – это след, который оставляет зверек в зимнем лесу.

Наконец, обсудим пространственноподобные интервалы. Если мы возьмем любую мировую точку вне конуса, скажем B, как на рис 5.4, то квадрат интервала между этой точкой и началом координат s² = c²t² – x_В² будет отрицательным, и он будет как раз пространственноподобным. Точно так же, это относится ко всем мировым точкам вне конуса, скажем B', поскольку пространственная часть интервала превышает временную. Наклон соответствующих отрезков больше, чем у светового конуса.