Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №8

Журнал «Домашняя лаборатория»

Проектирование КИХ-фильтров базируется, в первую очередь, на том, что частотная характеристика фильтра определяется импульсной характеристикой, а во-вторых, на том, что коэффициенты фильтра определяются его квантованной импульсной характеристикой. Оба положения иллюстрирует рис. 6.17.

На вход КИХ-фильтра подается одиночный импульс, и по мере прохождения этого импульса через элементы задержки, на выходе поочередно формируются коэффициенты фильтра. Таким образом, процесс проектирования КИХ-фильтра состоит в определении его импульсной характеристики по желаемой частотной характеристике с последующим квантованием импульсной характеристики

в ходе генерации коэффициентов фильтра.

Полезно сделать некоторое отступление и исследовать соотношения между временным и частотным представлениями для лучшего понимания принципов, лежащих в основе цифровых фильтров, в частности — КИХ-фильтров. В дискретной системе операция свертки может быть представлена рядом операций умножения с накоплением. Операция свертки во временной или частотной области эквивалентна умножению "точки на точку" в соответствующей дуальной области. Например, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области. Это изображено графически на рис. 6.18. Очевидно, что фильтрация в частотной области может быть выполнена умножением на 1 всех частотных компонентов в полосе пропускания и умножением на 0 всех частотных компонентов в полосе задержки. И наоборот, свертка в частотной области эквивалентна умножению "точки на точку" во временной области.

Функция передачи в частотной области (1 или 0) может быть отображена во временную область с использованием дискретного преобразованием Фурье (ДПФ) (на практике используется БПФ). Во временной области это дает импульсную характеристику фильтра. Так как умножение в частотной области (спектр сигнала умножается на функцию передачи фильтра) эквивалентно свертке во временной области (сигнал свернут с импульсной характеристикой), то сигнал может быть отфильтрован путем вычисления его свертки с импульсной характеристикой фильтра. Задача фильтрации с использованием КИХ-фильтра является в точности таким процессом. Так как мы имеем дело с дискретной системой, сигнал и импульсная характеристика квантуются по времени и амплитуде, давая в результате набор дискретных отсчетов. Дискретные отсчеты, включающие желаемую импульсную характеристику, являются коэффициентами КИХ-фильтра.

Математический аппарат, применяемый при проектировании фильтров (аналоговых или цифровых), в основном базируется на преобразованиях Фурье. В непрерывных по времени системах в качестве обобщенного преобразования Фурье может рассматриваться преобразование Лапласа. Подобным способом можно обобщить преобразование Фурье для дискретных по времени систем, и результат такого обобщения известен как z-преобразование. Детальное описание использования z-преобразования при проектировании цифровых фильтров дано в приложениях 1, 2, 3, 4, 5 и 6, хотя для понимания дальнейшего материала и нет необходимости в глубоких теоретических изысканиях.

Частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 6.19, А.

Соответствующая импульсная характеристика во временной области представлена на рис. 6.19, В и является функцией sin(x)/x (sine). Если для реализации этой частотной характеристики использовать КИХ-фильтр, то он должен иметь бесконечное число звеньев. Метод sin(x)/x со взвешиванием заключается в следующем. Сначала импульсная характеристика обрезается до разумного числа точек N, как на рис. 6.19, С. Как было обсуждено в разделе 5, частотная характеристика, соответствующая рис. 6.19, С, имеет слишком большое влияние боковых лепестков из-за разрывов в области конечных точек в усеченной импульсной характеристике. Следующий шаг в процессе проектирования состоит в применении к усеченному импульсу соответствующей весовой функции, как показано на рис. 6.19, D, обнуляющей конечные точки. Выбранная таким образом весовая функция определяет спад и характеристики боковых лепестков фильтра. Весовые оконные функции были подробно обсуждены в разделе 5. Как правило, существует несколько приемлемых вариантов в зависимости от желаемой

частотной характеристики. Частотная характеристика фильтра с усеченной импульсной характеристикой sin(x)/x (рис. 6.19, Е) представлена на рис. 6.19, F.

Метод рядов Фурье со взвешиванием (рис. 6.20) заключается в начальном математическом определении функции передачи H(f) и последующем разложении ее в ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье определяют импульсную характеристику и, следовательно, коэффициенты КИХ-фильтра. Затем импульсная характеристика должна быть усечена и подвергнута взвешиванию с использованием оконной функции, как в предыдущем случае. После усечения и применения оконной функции используется БПФ для генерации соответствующей частотной характеристики. Частотная характеристика может быть изменена выбором различных оконных функций, хотя точное управление характеристиками частотной характеристики в полосе режекции затруднено при любом методе, использующем взвешивание с функцией окна.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРА ПО МЕТОДУ РЯДОВ ФУРЬЕ СО ВЗВЕШИВАНИЕМ

• Точное определение передаточной характеристики H(f)

• Разложение H(f) в ряд Фурье: коэффициенты ряда Фурье являются коэффициентами КИХ-фильтра h(k) и его импульсной характеристикой

• Усечение импульсной характеристики до N точек

• Взвешивание h(k) с соответствующей оконной функцией для сглаживания эффекта усечения

• Отсутствует точное управление частотой среза; сильная зависимость от оконной функции

Рис. 6.20

Проектирование КИХ-фильтра по методу частотной дискретизации

Этот метод чрезвычайно полезен при генерации КИХ-фильтра с произвольной частотной характеристикой. H(f) определяется как набор точек амплитудной и фазовой характеристик в частотной области. Затем точки преобразуются в вещественные и мнимые составляющие комплексного спектра. Следующим шагом является получение импульсной характеристики путем взятия комплексного обратного БПФ от частотной характеристики. Далее импульсная характеристика обрезается до N точек и применяется взвешивание с функцией окна для минимизации эффекта усечения. Затем результат проектирования фильтра должен быть проверен путем вычисления БПФ от импульсной характеристики и оценки получившейся частотной характеристики. Для получения желаемой характеристики может потребоваться несколько итераций.

МЕТОД ЧАСТОТНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ КИХ-ФИЛЬТРА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

• Определение Н(k) как конечного числа спектральных точек, равномерно распределенных между 0 и 0,5 f_s (обычно достаточно 512)

• Определение фазовых точек (можно делать равными 0)

• Преобразование в алгебраическую форму (вещ. + мнимая части)

• Комплексное обратное БПФ массива H(f) для получения импульсной характеристики

• Усечение импульсной характеристики до N точек

• Взвешивание h(k) с подходящей функцией окна для сглаживания эффектов усечения

• Проверка результата и при необходимости коррекция

• Методы САПР больше подходят для ФНЧ, ФВЧ, полосовых и режекторных фильтров

Рис. 6.21

Проектирование КИХ-фильтров с использованием программы Паркса-Макклиллана (Parks-McClellan)

Метод проектирования, основанный на использовании окон для усечения импульсной характеристики и получения желаемой частотной характеристики, исторически был первым методом проектирования КИХ-фильтров. Метод частотной дискретизации был разработан в 70-ых годах и до сих пор популярен в тех случаях, где частотная характеристика является произвольной функцией.