Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2007 №8

Журнал «Домашняя лаборатория»

Режекторный фильтр проектируется посредством параллельного подключения НЧ и ВЧ фильтров и суммирования сигналов с их выходов. Суммируя индивидуальные импульсные характеристики, получают эквивалентную импульсную характеристику.

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)

Как было упомянуто ранее, КИХ-фильтры не имеют реальных аналоговых эквивалентов. Самой близкой аналогией является фильтр скользящего среднего с взвешиванием. Кроме того, частотные характеристики

КИХ-фильтров имеют только нули и не имеют полюсов.

С другой стороны, БИХ-фильтры имеют традиционные аналоговые эквиваленты (фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы с использованием традиционных методов проектирования фильтров.

БИХ-фильтры получили такое название, потому что их импульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интервале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивными, то есть используют обратную связь. Хотя БИХ-фильтры могут быть реализованы с меньшим, чем КИХ-фильтры, количеством вычислений, БИХ-фильтры не могут иметь таких характеристик, которыми обладают КИХ-фильтры. Более того, БИХ-фильтр не имеет линейной фазовой характеристики. Но вычислительные преимущества БИХ-фильтра теряются, когда выходной сигнал фильтра подвергается децимации, поскольку в этом случае всякий раз приходится вычислять заново значение выходной величины.

БИХ-фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев. Например, фильтр шестого порядка требует трех биквадратных звеньев.

ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (БИХ)

• Имеют обратную связь (рекурсия)

• Импульсная характеристика имеет бесконечную длительность

• Потенциально нестабильны

• Нелинейная фазочастотная характеристика

• Более эффективны, чем КИХ-фильтры

• Нет вычислительных преимуществ при децимации по выходу

• Обычно проектируется по характеристике аналогового фильтра

• Обычно реализуется каскадным соединением звеньев второго порядка (биквадратные фильтры)

Рис. 6.31

Структура биквадратного БИХ-фильтра представлена на рис. 6.32. Нули формируются коэффициентами прямой связи b₀, b₁ и Ь₁; а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи a₁ и а₂.

Общее уравнение цифрового фильтра, представленное на рис. 6.32, описывает обобщенную передаточную функцию H(z), которая содержит полиномы и в числителе, и в знаменателе. Корни знаменателя определяют расположение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение нулей. Хотя существует возможность создания непосредственно по этому уравнению БИХ-фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок

квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных.

Первая прямая форма биквадратного звена, представленная на рис. 6.32, требует использования четырех регистров. Эта конфигурация может быть заменена эквивалентной схемой, представленной на рис. 6.33, которая называется второй прямой формой реализации и требует использования только двух регистров.

Можно показать, что уравнения, описывающие биквадратный БИХ-фильтр второй прямой формы реализации, такие же, как и уравнения первой прямой формы реализации. Как и в случае КИХ-фильтра, система обозначений при изображении БИХ-фильтра часто упрощается, как показано на рис. 6.34.

Методы проектирования БИХ-фильтров

Популярный метод проектирования БИХ-фильтра сводится к тому, что сначала проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция передачи H(s) преобразуется математически в z-область, H(z). Проектирование фильтров более высоких порядков выполняется каскадированием биквадратных звеньев. Наиболее популярными аналоговыми фильтрами являются фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические и Бесселя (см. рис. 6.35). Существует множество программ САПР, способных генерировать функцию передачи фильтра, заданную с помощью преобразования Лапласа.

ОБЗОР ПОПУЛЯРНЫХ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ

• Баттерворта

? Нет нулей частотной характеристики, нет пульсаций в полосе пропускания и задержки

? Максимально плоская характеристика (быстрый спад без пульсаций)

• Чебышева 1-го рода

? Нет нулей частотной характеристики, пульсации в полосе пропускания, нет пульсаций в полосе задержки

? Более короткая область перехода, чем у фильтра Баттерворта для данного порядка

? Фильтр 2-го рода имеет пульсации в полосе задержки, нет пульсаций в полосе пропускания

• Эллиптический (Кауэра)

? Имеет полюса и нули, пульсации и в полосе пропускания, и в полосе задержки

? Более короткая область перехода, чем у фильтра Чебышева для данного порядка

? Фазовая характеристика хуже

• Бесселя (Томпсона)

? Нет нулей частотной характеристики, нет пульсаций в полосе пропускания и задержки

? Оптимизирован по линейной фазовой и импульсной характеристикам

? Самая длинная переходная характеристика из всех фильтров данного порядка

Рис. 6.35

Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики, (также называемый фильтром с максимально плоской характеристикой), не создает пульсаций (неравномерности) в полосе пропускания и в полосе задержки, то есть обладает монотонной характеристикой в обеих полосах. Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Баттерворта (при равном порядке), и создает пульсации (неравномерность) в полосе пропускания. Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода, имеющие пульсации (неравномерность) в полосе задержки, а не в полосе пропускания.