Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

+

F(t)

=0.

(48)

Из уравнений (43), (47) и (48) может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия

2

0

a+

0

rdrd

=

2

0

1

2

(a+)^2d

=

a^2.

(49)

ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости.

Из соотношений (47) и (48) имеем

t

+

r

r=a

=0

(50)

и

t

r=a

– T

1

a

+

a^2

–

1

a^2

^2

^2

+

F(t)

=0.

(51)

Исключая из равенств (50) и (51), получаем

^2

t^2

–

T

a^2

r

+

^2

r^2

r=a

+

F'(t)

=0.

(52)

Если F'(t)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция

=Ar

ⁿ

cos n sin qt,

 где

q^2

=

T

a^3

(n^3-n)

(53)

Подставляя это выражение в равенство (50), находим

t

=-

na

^n-1

A cos n sin qt,

=

n

q

a

^n-1

A cos n cos qt+f

.

(54)

Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение

f

+

f''

=const,

которому удовлетворяет функция

f=C.

При этом из (49) следует, что

C=0.

В первом приближении уравнение колебаний имеет следующий общий вид:

r=a+

b

_n

cos(n+

_n

)

cos(q

_n

t+

_n

),

где

q

2

n

=

T

a^3

(n^3-n).

Что касается более высоких приближений, то общее уравнение колебаний нельзя записать в каком-либо аналогичном виде, так как колебания различных типов являются независимыми лишь в первом приближении.

Теперь займёмся вычислением высших приближений для колебаний чисто периодического типа, для которых первое приближение

имеет вид

=Ar

ⁿ

cos n sin qt,

=

n

q

a

^n-1

A cos n cos qt+f

,

q^2

=

T

a^3

(n^3-n)

.

(55)

ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Из (47) в (48) имеем

t

+

r

+

^2

r^2

–

1

r^2

r=a

=0

(56)

и

t

+

^2

rt

–

1

2

r

^2

–

1

2

^2

r=a

–

– T

1

a

–

a^2

–

1

a^2

^2

^2

+

^2

a^3

+

1

2a^3

^2

+

2

a^3

^2

^2

+

F(t)=0

.

(57)

Подставляя значения (55) для , и q, получаем во втором приближении

t

+

r

r=a

=-

n^2(2n-1)

4q

a

^2n-3

A^2cos 2n sin 2qt

+

+

n^2

4q

a

^2n-3

A^2sin 2qt

(58)

и

t

r=a

– T

1

a

–

a^2

–

1

a^2

^2

^2

+

F(t)=

=-

n(2n-1)(n^2+2n-2)

8(n^2-1)

a

^2n-2

A^2(cos 2n sin 2qt + cos 2n)

–

–

n(4n^3+3n^2-4n-2)

8(n^2-1)

a

^2n-2

A^2 cos 2n

–

n(3n^2-2)

8(n^2-1)

a

^2n-2

A^2

.

(59)

Исключая из равенств (58) и (59), находим

^2

t^2

–

T

a^2