Избранные научные труды
Шрифт:
r=a+be
– z
cos kz sin n,
где k и определяются формулами (39) и (40).
Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем
T
=
k^2
c^2a^3 J
n (iak)
iak J
'
n (iak) (n^2-1+a^2k^2)
1+n(n-1)^2
2
ca^2k
3/2
+
+
3n(n-1)^2
2
2
ca^2k
^2
.
(41)
УЧЁТ
Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом 1.
1 G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.
Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.
При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости . Используя полярные координаты и обозначая через и соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем
= -
r
,
= -
1
r
.
Считая жидкость несжимаемой, получаем
r
+
r
+
1
r
= -
^2
r^2
+
1
r
r
+
1
r^2
^2
^2
=0.
(42)
Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при r=0, может быть записано в виде
=
A
n,q
r
n
cos(n+
n
)
sin(qt+
q
),
(43)
где n — положительные целые числа.
Уравнение поверхности жидкости запишем в виде
r=a+, =(,t).
Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид
D
Dt
(a--r)
=
t
+
r
+
r
(a--r)
и
p-
T
R
=0,
(44)
где R —
Из равенства (44) находим
t
–
1
r^2
+
r
r=a+
=0
(45)
и
t
–
1
2
r
^2
+
1
r^2
^2
r=a+
– T
(a+)^2+2
^2
–
–
(a+)
^2
^2
(a+)^2
+
^2
– 3/2
+
F(t)
=0.
(46)
Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия r=a, будем считать малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом должно быть величиной также первого порядка малости, если F(t) определено таким образом, что не содержит членов, не зависящих от r или .
Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора
t
+
1+
r
+
^2
2
^2
r^2
+…
r
–
1
r^2
r=a
=0
(47)
и
1+
r
+
^2
2
^2
r^2
+…
t
–
1
2
r
^2
–
1
2r^2
^2
r=a
–
– T
(a+)^2+2
^2
–
(a+)
^2
^2
(a+)^2
+
^2
– 3/2