Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

В экспериментах численное значение величины | iab | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | iad |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | iab | < 0,24 и | iad | > 20.)

При всех значениях x справедливо разложение

J

n

(x)

=

xⁿ

2ⁿ·n!

–

xⁿ⁺²

2ⁿ⁺²·1!(n+1)!

+

xⁿ⁺⁴

2ⁿ⁺⁴·2!(n+2)!

– …

(28)

Ряд (28)

быстро сходится при малых x, но очень медленно — при больших x. Из разложения (28) следует

J

'

n

(x)

=

n

x

J

n

(x)

1-

x²

2n(n+1)

–

x⁴

2³·n(n+1)²(n+2)

– …

и далее с помощью (19)

J

''

n

(x)

=

n(n-1)

x^2

J

n

(x)

1-

x^2(2n+1)

2(n-1)n(n+1)

+

x⁴

2³(n-1)n(n+1)²(n+2)

…

.

Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения b, мы будем полагать

J

'

n

(iab)

=-

in

ab

J

n

(iab)

1+

a^2b^2

2n(n+1)

и

J

''

n

(iab)

=-

n(n-1)

a^2b^2

J

n

(iab)

1+

a^2b^2(2n+1)

2(n-1)n(n+1)

.

(29)

Для вычисления J_n(x) при больших значениях x мы воспользуемся асимптотическим выражением

J

_n

(x)

~

(2x)

^{– 1/2}

[

P

_n

(x)

+

iQ

_n

(x)

]

exp i

x-

2n+1

4

[

P

_n

(x)

–

iQ

_n

(x)

]

exp -i

x-

2n+1

4

(30)

где

P

_n

(x)

=

1-

(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)

2!(8x)^2

+

(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)(4n^2-7^2)

4!(8x)⁴

– …

и

Q

_n

(x)

=

4n^2-1^2

1!8x

–

(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)

3!(8x)³

+…

Если

в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части x, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для J_n(x) при больших x. При использовании формулы (30) x можно записать в виде a-ib, где a и b — большие положительные числа. При этом член с e^ix будет преобладающим; пренебрегая членом с e^{– ix}, имеем

J

'

n

(x)

=

iJ

n

(x)

1+

i

2x

–

4n^2-1

8x^2

+

i(4n^2-1)

8x^3

– …

и, согласно (19),

J

''

n

(x)

=

– J

n

(x)

1+

i

x

–

2n^2-1

2x^2

–

i(4n^2-1)

8x^3

– …

.

Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим

J

'

n

(iad)

=

iJ

n

(iad)

1+

1

2ad

+

4n^2-1

8a^2d

и

J

''

n

(iad)

=

J

n

(iad)

1+

1

ad

+

2n^2+1

2a^2d^2

(31)

Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем

A

1

c

J

n

(iab)

2n(n-1)

a^2b

1+

a^2b^2

2(n-1)(n+1)

+

+

BJ

n

(iad)

2nb

ad

1+

3

2ad

+

4n^2-1

8a^2d^2

–

–

C

n

J

n

(iad)

id^2

n

1+

2

ad

+

2n^2+1

a^2d^2

=0

(32)

и

A

1

c

J

n

(iab)

2n

a

1+

a^2b^2

2n(n+1)

+

+

BJ

n

(iad)

d

1+

1

2ad

+

4n^2-1

8a^2d^2

–