Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Беллюстин Всеволод Константинович

Если сопоставить вс способы, какими писались десятичныя дроби въ математ. работахъ ХVIII вка, то получится всего пять видоизмненій, и если по нашему пишется 0,784, то у Бейера

III

784

, у Неппира 0°7'8"4'", у Вингата .784, у Беклера 784 (3 и у Валлиса 0<784.

Мы разсмотрли до сихъ поръ, кмъ и какъ было положено начало десятичнымъ дробямъ, и какіе успхи он сдлали въ XVII столтіи. Въ слдующеvъ вк, въ ХVIII-мъ, шестидесятеричныя дроби мало по малу исчезаютъ, и ихъ мсто занимаютъ десятичныя дроби. Напр., въ ариметик нмецкаго педагога Париціуса, въ первомъ изданіи, которое вышло въ 1706 году, разсматриваются дроби шестидесятеричныя, но во второмъ изданіи этой же ариметики он уже замнены десятичными. Впрочемъ Париціусъ, подобно Беклеру, примняетъ десятичныя дроби только къ мрамъ длины. Самое трудное изъ дйствій — дленіе онъ производитъ по такому правилу: надо длить, какъ цлыя числа, а чтобы узнать номеръ разряда частнаго, надо изъ номера длимаго

вычесть номеръ длителя. Вотъ примръ. 4269342 (5 : 321 (2 (согласно нашему обозначенію это было бы 42,69342 : 3,21).

При такомъ пріем получается въ отвт дв дроби: десятичная 3 и обыкновенная⁴²/₃₂₁, такъ какъ въ остатк получилось 42.

Чтобы частное состояло только изъ одной десятичной дроби, Париціусъ совтуетъ приписывать къ длимому постепенно нули, до тхъ поръ, пока, наконецъ, дленіе не выйдетъ безъ остатка. Если же оно безъ остатка никакъ не выходитъ, то Париціусъ рекомендуетъ совсмъ бросить небольшой остатокъ, по латинской пословиц «minima non curat praetor», т.-е. «о пустякахъ не стоитъ толковать». Періодическія дроби принадлежатъ уже 19-му вку.

Непрерывныя дроби.

Непрерывныя дроби. Еще у египтянъ встрчаемъ мы дроби, у которыхъ числитель не цлое число; онъ самъ представляетъ изъ себя дробь, напр.

это значитъ 2 вооьмушки и еще сверхъ того треть восьмушки. Так-же и у римлянъ нердко ножно было встртить

унціи, т. е. 1 двнадцатую и еще 1/2 двнадцатой,

Такимъ образомъ и въ древнемъ мір идея непрерывныхъ дробей была ясна и доступна: дроби эти основаны на томъ, что числитель можетъ быть не только цлое число, но и смшанное.

Греческій математикъ Архимедъ примнялъ непрерывныя дроби къ извлеченію квадратныхъ корней и выражалъ этими дробями приближенныя величины корней. Арабскій ученый Алькальцади (въ XV в. по Р. X.) даетъ нкоторые намеки на восходящія непрерывныя дроби; онъ примняетъ ихъ къ дленію съ остаткомъ и обозначаетъ ими дробное частное. Напр., требуется раздлить 253 на 280, и такъ какъ 280 разлагается на производителей 5, 7 и 8, то мы сперва длимъ 253 на 8, будетъ 31 5/8 , потомъ полученное длимъ на 7, будетъ

и, наконецъ, длимъ на 5, будетъ

а это, обыкновенно, прдставляется такъ:

и составляетъ восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:

или, если написать ее ясне, то

вычислить ее можно такъ:

Лордъ Брункеръ, англичанинъ, представилъ (въ 1655 г.) въ вид непрерывной дроби величину /4 = 0, 78539316... ( показываетъ отношеніе длины окружности къ длин ея діаметра). Гюйгенсъ въ 1682 году далъ подробное объясненіе того, какъ съ помощью непрерывныхъ дробей можно приводить къ легкимъ числамъ трудныя несократимыя дроби. Полную теорію непрерывныхъ дробей далъ Леонгардъ Эйлеръ, нмецкій ученый 18 в.

Пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней.

Не только въ одной ариметик, но и почти во всхъ другихъ наукахъ идетъ постоянная разработка вопроса, что должно служить ихъ содержаніемъ, и изъ чего долженъ слагаться ихъ матеріалъ. Въ зависимости отъ способовъ изслдованія и отъ пріемовъ обученія содержаніе учебнаго предмета то увеличиваетея, то уменьшается, то замняется другимъ. Ариметика не мало за свою многовковую жизнь потерпла измненій. Началась она съ вычисленій надъ цлыми числами, потомъ къ ней присоединились дроби и именованныя числа, затмъ рядъ другихъ отдловъ и среди нихъ пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней. Поговоримъ о нихъ въ отдльности.

Пропорціи первоначально разрабатывались въ геометріи и занимали въ ней видное мсто, он примнялиеь къ подобію фигуръ; и такъ

какъ геометрія составляла любимый предметъ греческихъ математиковъ, то естественно вышло, что разработка пропорцій является заслугой греческихъ ученыхъ. Знаменитйшій геометръ Эвклидъ (III ст. до Р. X.), система котораго вдохновляла всхъ позднйшихъ геометровъ, и европейскихъ и азіатскихъ, и труды котораго считаются классичеекями и незамнимыми по настоящее время, далъ среди другихъ искусно разработанныхъ отдловъ отдлъ о пропорціяхъ. Вліяніе Эвклида на послдующія поколнія было громадно, и оно даетъ себя чувствовать и теперь, поэтому то направленіе, которое придалъ пропорціямъ Эвклидъ, преобладаетъ и теперь въ болышинств учебниковъ. Вкратц по отношенію къ ариметик его можно охарактеризовать тмъ, что пропорціямъ отводится въ ариметик боле высокое мсто, чмъ он заслуживаютъ, и на нихъ боле обращаютъ вниманія, чмъ это должно было бы вызываться содержаніемъ ариметияи и ея цлями. Всякій, кто проходилъ ариметику въ школ и изучалъ пропорціи, вспомнитъ наврное, что этотъ отдлъ вызывалъ въ немъ недоумніе, казался какимъ-то чуждымъ и даже труднымъ. И дйствительно, пропорціи надо бы, по настоящему, исключить изъ курса элеиентарной ариметики и ввести въ составъ буквеиной, общейариметики, т.-е. теоріи чиселъ. Пропорціи не учатъ вычисленіямъ, которыя одни только и составляюгь матеріалъ элементарной ариметики, но он излагаютъ нкоторыя общія свойства, которыя, въ силу своей общности, подлежатъ ариметик не вычисляющей, а обобщающей, т.-е. теоріи чиселъ и алгебр: тамъ ихъ естественное и законное мсто. Надо пожелать, чтобы глава о пропорціяхъ была исключена изъ ариметическаго курса средней школы. Въ геометріи она необходима, тамъ она пусть останется, и пусть геометрическое ученіе о пропорціяхъ послужитъ иачаломъ для алгебраическаго, какъ боле наглядное должно служить фундаментомъ для отвлеченнаго. Напрасно думаютъ иные, что пропорціи нужны для задачъ на тройное правило, на правило процентовъ и т. д. Вс эти задачи могутъ прекрасно обойтись безъ пропорцій и ршаться приведеніемъ къ единиц, а еще лучше различными искусственными упрощающиии пріемами, которые скоре ведутъ къ цли и могутъ боле изощрить мышленіе учениковъ. Практическая жизнь сильно суживаетъ примненіе пропорцій, сравнительно съ тыъ, какое имъ дается въ ариметик, Напр., бываютъ въ ариметик задачи: «1 арш. стоитъ 2 руб. Сколько стоятъ 1000 аршинъ»? Всякій торговый человкъ, даже неучившійся ариметик, знаетъ, что при большихъ партіяхъ товара обязательно длается уступка и слд. 1000 арш. обойдутся не въ 2000 руб., а нсколько дешевле. Подобныхъ задачъ, гд расходится ариметіческая точность съ житейской практикой, можно привести массу, и поэтому не удивительно, если при нкоторой неосторожности ученики вмсто полезныхъ выводовъ получаютъ отъ цропорцій нчто сумбурное и несообразное, доходящее даже до извстныхъ курьезовъ, въ род: «одинъ человкъ пройдетъ весь путь во столько-то времени, сколько времени потребуется, если пойдутъ вмст два человка». Мы, конечно, смемся надъ несообразительностью маленькаго ученика, но мы несправедливы,когда объясняемъ нелпый отвтъ только тупостью ученика; нтъ, виноваты и мы, потому что заставляемъ изучать въ ариметик отдлъ чуждый, отвлеченный, не вытекающій изъ предыдущихъ отдловъ.

Прогрессіи. Прогрессіей, какъ извстно, называютъ рядъ чиселъ, расположенныхъ въ оцредленномъ порядк уменьшенія или увеличенія. Напр., рядъ 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляетъ ирогрессію, потому что входящія въ него числа все увеличиваются на 2; точно также прогрессіей будетъ называться и рядъ такой: 4, 2, 1, 1/2 , 1/4 , , 1/8 , 1/16, и такъ дале, потому что помщенныя здсь числа цостепенно все уменьшаютея вдвое. Въ старинныхъ учебникахъ ариметики прогрессіи считались необходимой главой и помщались въ нихъ всегда, и это было до средины прошлаго ХІХ-го вка. При этомъ, изложеніе часто отличалось неясностью и сбивчивостью, такъ что, напр., прогрессія смшивалась съ пропорціей, какъ у Магницкаго на стр. РОФ

«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и раздляются на три вида, иже суть: ариметическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ нсть треба намъ глаголати. Въ ариметическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».

И т. дале.

 Въ иныхъ старинныхъ ариметивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда послдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.

Примры на правило Алъкархи можно привести такіе:

1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)², такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6

1³+2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)², такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15