Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей
Шрифт:
Простое и сложное тройное правило распредлялись обыкновенно въ XVI—XVIII вв. на массу мелкихъ отдловъ, которые носили очень замысловатыя названія, въ зависимости отъ содержанія задачъ. Вотъ эти названія по Магницкому: a «тройное торговое правило», т. е. вычисленіе стоимости купленнаго товара; b «тройное торговое о купляхъ и продажахъ»,—то же, что и предыдущее, но только посложне; c «тройное торговое въ товарныхъ овощахъ и съ вывскою», когда приходится длать вычетъ за посуду и вообще оболочку; d «о прибыли и убытк»; e «статья вопросная въ тройномъ правил», въ ней задачи очень разнообразнаго содержанія, по большей части съ обратной пропорціональностью; f «статья вопросная со временемъ», гд спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.
Въ начал ХІХ-го вка было предложено Базедовымъ еще измненіе въ тройномъ правил и опять въ ту-же самую сторону
? — 1200
2400 — 4000
3 — 4
и получаемъ формулу отвта
. Почему числа 1200, 4000 и 4 вошли въ числителя, а 2400 и 3—въ знаменателя? На это можно отвтить такимъ правиломъ: въ числителя входитъ число, однородное съ искомымъ, т. е. въ нашемъ случа число 1200; кром того въ него же входятъ вс т числа второго условія {4000 · 4), которыя прямо пропорціональны искомому; если же они обратно пропорціональны, какъ въ нашемъ примр 3, то они замняются соотвтствующнми числами 1-го условія (4-мя).
Вотъ все, что мы можемъ сообщить объ историческомъ развитіи тройного правила. Изъ всего сказаннаго можно сдлать заключенiе, которое годится для нашего времени. Средневковая ариметика, съ ея стремленіемъ давать только правила и пропускать выводы, съ ея механическимъ ршеніемъ вопросовъ, имла слишкомъ большое вліяніе на всю послдующую школьную жизнь, и настолько большое, что слды его проявляются на каждомъ шагу и въ наше время. Какъ бы мы ни старались отряхнутьоя отъ традиціи, освободиться отъ привычки, но он слишкомъ тсно насъ охватили и слишкомъ крпко къ намъ привлеились, чтобы ихъ можно было отбросить безъ остатка. Наша школа все еще повинна въ механическомъ заучиваніи ариметики, безъ достаточнаго участія сознательности. Тройное правило служитъ хорошимъ доказательствомъ этого. Нердко забываетъ наша средняя и низшая школа, что она призвана давать общее образованіе, а не готовить бухгалтеровъ, конторщиковъ, счетчиковъ и т. п. Между тмъ ремесленные пріемы итальянцевъ и нмцевъ, стремившихся не развить человка, а сдлать изъ него счетную машину, примняются нердко и теперь. Къ чему вс эти правила: тройное, смшенія и т. д.? Какой цли они должны удовлетворять? Они должны являться выводомъ изъ ршенныхъ задачъ, а не предшествовать ршенію задачъ; вредно ршать задачи по предварительно усвоенному правилу, но надо стараться доходить до отвта свободнымъ личнымъ соображеніемъ. Однимъ словомъ, правило не надо понимать въ вид рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разныя мудреныя ршенія; но имъ слдуетъ дорожить только какъ выводомъ, къ которому приходитъ ученикъ: если ученикъ не можетъ сдлать этого вывода, то это значитъ, что задачъ взято мало, или он расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить боле систематическимъ расположенiемъ задачъ; если ученикъ длаетъ не такой полный и обстоятельный выводъ, какой хотлось бы учителю, то лучше удовольствоваться имъ, чмъ заставлять разучивать правило, навязанное учебникомъ: оно скоро забудется и не окажетъ развивающаго дйствія, такъ какъ необходимымъ качествомъ математическаго вывода должна быть самостоятельность, а необходимьмъ условіемъ сознательности должно быть тсное связываніе всхъ частей курса, почему и не можетъ имть мста механическое вкладываніе въ голову отдльныхъ кусковъ, усвояемыхъ памятью.
Правило пропорціональнаго дленія.
Пропорціональное дленіе съ давнихъ временъ прилагалось тогда, когда требовалось раздлить завщанный капиталъ между наслдниками. Поэтому въ сборникахъ, обыкновенно, помщалось нсколько задачъ этого рода. Вотъ задача изъ сборника Магницкаго: «Нкій человкъ имяше жену и три сына и дщерь едину; той человкъ при смерти своей написа въ завт своемъ послди себе раздлити пожитки, жен осмую часть всего имнія, сыномъ же всякому ихъ вдвое при дщери своей, изъ тхъ 7/8 всего имнія, по смерти же его обртеся имнія на 48000 рублевъ, и вдательно есть, колико кому досталось изъ того его всего имнія; придетъ: жен 6000 рублевъ, дтямъ мужеску полу 12000 рублевъ, а дщери 6000 рублевъ:
Въ прежнее время авторы учебниковъ давали очень замысловатые вопросы касательно завщаній.
Любопытную задачу въ этомъ род далъ знаменитый римскій юристъ Сальвіанъ Юліанъ, жившій при императорахъ Адріан и Антонин Пі (во II в. по Р. X.)
«Нкто, умирая, оставилъ беременную жену и завщалъ: если у меня родится сынъ, то пусть ему дано будетъ 2/3 имнія, а жен остальная 1/3 , если же родится дочь, то ей 1/3 а жен остальныя 2/3 , родилась двойня, — сынъ и дочь, какъ же теперь раздлить имніе?»
Сальвіанъ предложилъ сыну дать 4 части, жен 2 и дочери 1. Задача считалась очень интересной и даже вошла въ пандекты, византійскій сборникъ законовъ. Между прочимъ, Алькуинъ, придворный математикъ Карла Великаго (въ VIII в. по Р. X.), думалъ надъ этой же задачей, но она изложена у него съ другими числами. По Алькуину, сыну завщано 3/4 и вдов 1/4 , дочери 7/12 и вдов 5/12. Къ задач приложено переписчикомъ ршеніе, съ которымъ согласиться нелегко: чтобы удовлетворить сына и мать, надо 12 долей, а еще дочь и мать 24 доли; по 1-му условію сынъ получаетъ 9 долей, мать 3, по второму — мать 5 и дочь 7, всего приходится матери
сыну —
= 3/8 , дочери
Вс задачи на завщанія ршались тройнымъ правиломъ и относились къ той групп, которая въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ озаглавливалась: «статья дловая въ тройномъ правил», т.-е. статья, гд производитея длежъ, то былъ длежъ заработка, награды и т. п. За ней шла «торговая мновая въ тройномъ правил», т.-е. статья объ обмн, которая также приводилась къ тройному правилу. Потомъ «статья торговая складная и длительная», гд прибыль длилась соотвтственно вложенному капиталу. Затмъ «статья торговая складная съ прикащики и съ людьми ихъ», въ ней нужно было выдлить кром прибыли еще жалованіе прикащикамъ. И, наконецъ, шла «торговая складная со времены»: здсь принимался во вниманіе не только капиталъ, вложенный каждымъ компаньономъ въ предпріятіе, но и время оборота.
Задачи на пропорціональное дленіе ршались, обыкновенно, тройнымъ правиломъ, при этомъ не оставалось мста ни сокращеніямъ, ни упрощеніямъ и не давалось простора личной сообразительности ученика. Обыкновенно, сперва помщалось условіе вопроса, потомъ тутъ же ршеніе, ученикъ все это заучивалъ и впослдствіи старался это прилагать, когда встрчалъ вопросъ, похожій на заученный.
Правило процентовъ.
Взиманіе процентовъ практиковалось еще въ древнія времена, но въ различныхъ государствахъ къ нему относились различно и вообще это дло было совершенно не урегулировано.
У римлянъ допускались только простые проценты, онн высчитывались по одному въ мсяцъ и выплачивались по истеченіи каждаго мсяца. Брать сложные проценты было у нихъ запрещено закономъ. Также и въ средніе вка во многихъ государствахъ сложные проценты запрещались закономъ, и т, кто ихъ бралъ, считались ростовщиками и пользовались презрніемъ. Это были, обыкновенно, евреи. Законодатель исходилъ изъ того положенія, что если человкъ затрудняется простыми процентами и не можетъ вносить ихъ аккуратно въ срокъ, то безжалостно было-бы начислять на него сложные проценты. Въ ариметическихъ сборникахъ такія задачи попадались рдко, и въ условіяхъ ихъ говорилось, обыкновенно, про евреевъ. Въ русскомъ обществ до 18 ст. начисленіе процентовъ, очевидно, тоже не пользовалось расположеніемъ, по крайней мр, у Магницкаго (1703 г.) очень мало задачъ на вычисленіе роста, и самое слово «процентъ» у него не употребляется.