Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей
Шрифт:
Въ ХV—XVI стол., когда въ Западной Европ замчается особенный подъемъ торговли, всякія коммерческія вычисленія стали пользоваться вниманіемъ и среди нихъ вычисленіе сложныхъ процентовъ, но математикамъ того времени стоило большого труда ршать эти вопросы: не было десятичныхъ дробей и логаримовъ, да кром того, мры стоимости были во всякомъ государств свои, и переводить ихъ изъ одной системы въ другую считалось нелегкой операціей. Итальянскій математикъ Тарталья даетъ 4 способа вычисленія сложныхъ процентовъ: 1) опредляетъ наращенный капиталъ въ конц перваго года, затмъ въ конц второго и т. д., отвтъ находится при помощи тройного правила. 2) Пользуясь извстной алгебраической формулой aqn, но ея буквально не приводитъ. 3) Приростъ капитала выражаютъ его долей
(алгебраически
)
Чтобы избжать трудныхъ дробей, нмецкій математикъ Рудольфъ (ХVІ в.) еще до введенія десятичныхъ дробей пользовался десятичными дробями. Его примръ такой: во что обратится сумма 375 флориновъ черезъ 10 лтъ по 5%? Ршеніе:
Въ связи съ процентами стоитъ учетъ векселей. Правило учета было извстно еще римлянамъ. Такъ, напр., римскій математикъ Секстъ Юлій Африканъ, писавшій свои сочиненія по ариметик и геометріи при император Александр Север (222—235 г.), разсматривалъ такъ наз. interesurium, т. е. ученіе о интересахъ или процентахъ, по нашему — коммерческій учетъ векселей. Отъ римлянъ онъ перешелъ къ народамъ Западной Европы, а тамъ мы его видимъ въ XIII вк у итальянцевъ, которые первые надумали устраивать коммерческіе банки (первые итальянскіе банки относятся къ 1200 г. по Р. X.). Самый старинный вексель, дошедшій до насъ. помченъ 1325 годомъ и писанъ въ Милан, получить по нему въ Лукк. Въ XIII и XIV ст. въ Германіи встрчались векселя совершенно примитивной формы, но зато исключавшіе возможность всякой поддлки: бралась бирка, длинная палочка, и на ней графили такія зарубки, которыя могли-бы точно выражать вексельную сумму; затмъ эта бирка кололась по длин на 2 палочки, и одна изъ нихъ вручалась должнику, другая—заимодавцу; поддлать такой вексель было невозможно, потому что иначе палочки другъ къ другу не подойдутъ. На учетъ векселей смотрли въ древніе вка очень косо, и дурная слава утвердилась за нимъ потому, что маклера не брезговали большими процентами; довольно обыкновеннымъ размромъ было 33%, а если какой маклеръ учитывалъ изъ 20%, то онъ считалсл милостивымъ.
Коммерческій учетъ называется въ настоящее время иначе учетомъ Пинкарда или Карпцова, по имени составителя и издателя таблицъ этого учета. По этому способу учета заимодавецъ остается въ убытк, если учетный процентъ равенъ тому проценту, по которому брали деньги взаймы. Нашъ математическій учетъ называется иначе учетомъ Гоффмана (около 1731 г.). Третій способъ учета предложенъ Лейбницемъ. Въ немъ есть сходство съ математическимъ учетомъ, но проценты на уплачиваемую сумму начисляются сложные. Объяснимъ это алгебраически. Пусть плата будетъ X, валюта А, число процентовъ p, срокъ n лтъ; тогда
, отсюда
слдовательно, скидка или учетъ по векселю составляетъ
Постепенное погашеніе государственныхъ долговъ, устройство лоттерей, покупка капитала путемъ періодическихъ взносовъ, различные виды страхованія и другія банковскія и коммерческія операціи требуютъ вычисленій, основанныхъ на правил сложныхъ процентовъ и на теоріи вроятностей. Эти вычисленія составляютъ предметъ такъ назыв. политической (коммерческой) ариметики. Терминъ «политическая ариметика» былъ въ большомъ ходу во 2-й половин XVIII столтія. Въ новйшее время этотъ отдлъ обработанъ съ большой полнотой внскими профессорами Шпитцеромъ и Габерлемъ. Въ XIX столтіи самое понятіе о процент расширилось, благодаря введенію его въ статистику. Теперь уже отброшено старое опредленіе процента, какъ прибыли или убытка на сто рублей капитала, и вмсто
Скажемъ теперь нсколько словъ о правил, которое у нмцевъ носитъ названіе «Terminrechnung», а у насъ озаглавливается „вычисленіе сроковъ платежей“. Оно примняется тогда, когда нсколько капиталовъ, отданныхъ на разные сроки и по разному числу процентовъ, надо замнить общимъ капиталомъ, съ тмъ, чтобы онъ уплачивался въ общій срокъ. Расчетъ долженъ быть основанъ на томъ, чтобы ни заимодавецъ, ни должникъ не терпли убытка. Примръ можно взять такой: я обязанъ уплатить 1000 рубл. черезъ 2 года по 5%, 2500 р. черезъ 3 г. по 4% и 3000 р. черезъ 1 годъ по 6%. Когда въ одинъ общій срокъ я могу отдать эти деньги сразу? Уже въ XVI столтіи итальянскими учеными было иредложено два совершенно врныхъ пути для ршенія подобныхъ вопросовъ. Лука де-Бурго разсуждаетъ слдующимъ образомъ. Положимъ, что должникъ платитъ вс деньги въ первый срокъ; тогда онъ платитъ напрасно процентныя деньги съ остальныхъ капиталовъ, которымъ срокъ еще не настуішлъ, а именно платитъ за время между 1-мъ срокомъ и осталышми; высчитаемъ эту лишнюю сумму процентныхъ денегъ, высчитаемъ также, въ какое время эту сумму принесутъ вс капиталы, тогда мы и получимъ средній срокъ. Тарталья и Видманнъ пользуются нсколько инымъ пріемомъ, который, сравнительно съ пріемомъ Бурго, нсколько сокращенне, именно тмъ, что вмсто прибыли вводятся произведенія капиталовъ на число дней или лтъ. Это и есть тотъ самый нормальный пріемъ, какой употребляется въ настоящее время.
Наконецъ, правило процентовъ, отчасти съ вексельными операціями, примняется къ такъ наз. переводу платежей. Обороты по переводу платежей вошли въ обыкновеніе давно, одновременно съ изобртеніемъ денегь. Такъ какъ купцамъ различныхъ націй, ведшимъ между собою торговлю, необходимо было одн монеты переводить въ другія, то для этого имлись мняльныя конторы; ихъ всегда можно было встртить на рынкахъ большихъ городовъ. Что касается письменныхъ переводовъ, то они первоначально были введены евреями. Изгнанные въ VII ст. изъ Франціи, евреи перешли въ Ломбардію и внесли туда обыкновеніе пользоваться переводами, а итальянцы очень охотно приняли этотъ порядокъ. Затмъ Гибеллины, когда ихъ лишили Ломбардіи, перенесли съ собою новый порядокъ въ Амстердамъ, а оттуда онъ распространился уже по всей Европ. Около 1315 г. Іоаннъ, герцогъ Лотарингскій, далъ Ганзейцамъ привиллегію на производство въ Брабант денежныхъ переводовъ. Въ 1445 г. мы видимъ переводы въ Нюренберг. Денежные письменные переводы доставляди большое удобство и выгоду, такъ какъ они избавляли отъ лишнихъ трудовъ и издержекъ, и, кром того, при нихъ было меньше риска, что деньги потеряются, къ тому же надо замтить, что нердко бывали случаи, когда въ иныхъ государствахъ запрещалось вывозить туземную монету за-границу, подъ страхомъ конфискаціи. Вс операціи по переводу находились въ средніе вка въ начальной стадіи своего развитія; он ограничивались вычисленіемъ суммъ по курсу, коммиссіонныхъ же процентовъ не упоминается, такъ что обыкновеніе отчислять процентъ за переводъ принаддежитъ новйшему времени.
Цпное правило.
Начало цпного правила можно прослдить у индусовъ, именно, оно содержится въ ариметик индуса Брамегуиты, относящейся къ VII ст. по Р. X. Въ Германіи оно встрчается раньше всхъ у Адама Ризе (въ XVI ст.); распространенію его особенно способствовалъ голландецъ Ванъ-Реесъ (1740 г.), по его имени и правило часто на-зывается правиломъ Рееса, другія его названія — Kettenregel на нмецкомъ язык и R`egle conjonte на французскомъ.
Прямой цлью, для которой и придумано цпное правило, является переводъ мръ одной системы въ мры другой, при посредств мръ еще какой-нибудь третьей системы. Возьмемъ такую задачу:
сколько флориновъ стоятъ 8 центнеровъ, если въ центнер 100 фунтовъ, въ фунт 32 лота, каждые 6 лотовъ стоятъ 42 крейцера, 60 крейцеровъ стоятъ одинъ флоринъ?
Конечно, эту задачу можно ршить простыми дленіями и умноженіями, можно ее ршить черезъ пропорціи, но изобртатели цпного правила не довольствовались этимъ и хотли дать такой пріемъ, по которому человкъ могъ бы работать, какъ машина, почти не разсуждая и не давая себ отчета. По цпному правилу задача пишется такъ:
X флор.—8 центн.
1 центн.—100 фун.
1 фун.—32 лота.
6 лот.—42 крейц.
60 крейц—1 флоринъ.
Затмъ пишется прямо формула отвта, а для этого достаточно перемножить числа праваго ряда и сдлать это числителемъ и произведеніе лвыхъ чиселъ сдлать знаменателемъ, будетъ тогда
Въ XIII в. и позже въ Италіи условія подобныхъ задачъ располагались иначе, именно не двумя вертикальными столбцами, а двумя горизонтальными строками; получается такое расположеніе: