Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей
Шрифт:
Въ сборник Алькуина содержится извстная загадка о волк, коз и капуст, которыхъ надо перевезти черезъ рку, съ такимъ условіемъ, что въ лодк нельзя помщать волка съ козой, козы съ капустой, и оставлять на берегу тоже нельзя вмст, потому что они съдятъ; какъ же это устроить?
Лучшій сборникъ задачъ-загадокъ издалъ Баше-де-Мезиріакъ въ 1612 году, заглавіе его такое: Probl`emes plaisantes et d`elictables qui se font par les nombres. Въ немъ помщена большая часть тхъ задачъ, какія встрчаются и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, наприм., о задуманныхъ числахъ, о работник, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные, и т. д.
Въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ можно отмтить такія интересныя задачи: «I. Пришелъ христіянинъ въ торгъ и принесъ лукошко яицъ. И
11
Эта задача встрчается у Видманна, германскаго педагога XV вка; у него она выдлена въ особое правило—«правило о льв, волк и собак, съдающихъ овцу».
III. О деньгахъ въ куч вдати. Аще хощеши въ куч деньги вдати, и ты вели перевесть по 3 деньги. А что останется отъ 3-хъ—2 или 1, и ты за 1 по 70. Да опять вели перевести по 5, и что останется—4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется — 6 или 5, или 4, или 3, или 2, или 1, и ты тако же за всякій 1 клади по 15. Да что въ остаткахъ перечни родились, и т перечни сочти вмсто, а сколько станетъ, и ты изъ того перечню вычитай по 105, и что останется отъ сто пяти или сама сто пять, то столько въ куч и есть».
Немаловажной статьей среди математическихъ развлеченій были магическіе квадраты. Что такое магическій квадратъ? Это рядъ чиселъ отъ 1 и до какого-нибудь предла, размщенныхъ по клткамъ квадрата такъ, что сумма чиселъ по діагоналямъ и по сторонамъ остается постоянной. Вотъ примры, взятые изъ сборника Алькуина (этотъ ученый особенно любилъ магическіе квадраты):
Они встръчаются въ сочиненiяхъ секты «Чистыхъ братьевъ», существовавшей въ X в. по Р. X. въ г. Аль-Бассра. Эта секта приписывала магическимъ квадратамъ особенную таинственную силу. Врили, что они способны измнить расположеніе звздъ при рожденіи младенца и помочь ему.
Въ конц ариметики Іоанна Севильскаго (1150 года) приведенъ такой магическій квадратъ:
Объясненія не дано, только помщены т же самыя черточки, какія и на этомъ чертеж.
Исторія алгебры.
Хотя народы древвяго міра не знали нашей алгебры, но это не мшало имъ заниматься такими вопросами, которые принадлежатъ, собственно говоря, алгебр. Еще у египтянъ въ древнйшей рукописи-папирус Ринда ршаются уравненія первой степени съ однимъ неизвстнымъ; въ этихъ уравненіяхъ мы встрчаемъ и знаки, напр., своеобразный знакъ равенства / / . Задача помщена, между прочимъ, такая: « 2/3 цлаго числа вмст съ его 1/2 , и 1/7 и съ этимъ же цлымъ числомъ даютъ 33, найти неизвстное»; прежде всего отбираются извстные члены въ одну часть, а неизвстные въ другую, коэффиціенты при неизвстныхъ представляются основными дробями (т. е. съ числителемъ 1) или же выражаются въ одинаковыхъ доляхъ и складываются; величина неизвстнаго опредляется такъ: въ первомъ случа умножается коэффиціентъ на
Греческіе ученые занимались алгеброй въ періодъ времени съ VI ст. до Р. X. и кончая IV ст. по Р. X. Они разработали нсколько отдловъ ея, но ихъ труды идутъ въ иномъ направленіи, чмъ какого держится новйшая математика, именно они носятъ на себ геометрическую окраску.
Прежде всего Пиагоръ (въ VI ст. до Р. X.) и Платонъ (въ V ст.) ршили въ цлыхъ числахъ уравненіе х2+y2=z2.
Пиагоръ далъ такія формулы:
гд а равно любому нечетному числу; по Платону
гд а любое четное число.
Діофантъ, жввшій въ Александріи въ 4 в. по Р. X., оказалъ алгебр большія услуги. До него древніе не знали употребленія буквъ при доказательствахъ въ общемъ вид, Діофантъ же первый сталъ вводить различные знаки для неизвстныхъ величинъ, главнымъ образомъ греческія буквы; ему обязана своей разработкой глава объ уравненіяхъ, именно объ уравненіяхъ первой степени со многими неизвстными и о полныхъ квадратныхъ уравненіяхъ. Вотъ примръ изъ Діофанта:
x + y = 10, x2 + y2 = 68
длимъ 1-е уравненіе на 2 и получаемъ
теперь положимъ, что
тогда
x = 5 + d, y = 5 - d (5 + d)2 + (5 - d)2 = 68 50 + 2d2 = 68 d = 3, x = 8, y = 2
Діофантъ занимался также неопредленными уравненіями первой и второй степени, но ему не удалось найти полнаго ихъ ршенія въ цлыхъ числахъ; это сдлали уже Эйлеръ, нмецкій математикъ 18 в., и французскій математикъ Лагранжъ (1736—1813).
Индусы называли неизвстныя величины, которыя мы теперь обозначаемъ черезъ х, у, z и т. д., черной величиной, голубой, желтой, зеленой, красной и обозначали ихъ первыми буквами тхъ словъ, которыя выражаютъ эти цвта. Индусскіе математики 6—12 в по Р. X. знакомы были, правда, съ греческой ариметикой и алгеброй, но они далеко опередили грековъ. Они знали ирраціональныя числа, знали, что всякій квадратный корень иметъ два значенія: положительное и отрицательное, и дошли до мнимыхъ величинъ. Баскара (въ 12 в.) принялся за кубическія уравненія, и вотъ его примръ:
x4 + 48x = 12x2 + 72
вычтемъ по
12x2 + 64 = 12x2 + 64
————————————————————————
x3– 12x2 + 48x– 64 = 8
(x– 4)3 = 23
x– 4 = 2
x = 6