Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Возьмём уравнение переноса излучения
cos
dI
dr
=-
I
+
.
(5.18)
Умножая это уравнение на cos , интегрируя по всем направлениям и вынося за знак интеграла среднее значение cos^2, равное ^1/, получаем
4
3
dI
dr
=-
H
,
(5.19)
где H —
I
=
I
d
4
.
(5.20)
Интегрируя (5.19) по всем частотам и вводя обозначение
=
Hd
H
,
(5.21)
находим
4
3
dI
dr
=-
H
,
(5.22)
где H — полный поток излучения в фотосфере и I — средняя полная интенсивность излучения.
Величина , определённая формулой (5.21), есть средний коэффициент поглощения. Вводя соответствующую ему оптическую глубину по формуле
=
r
dr
,
(5.23)
вместо (5.22) имеем
4
3
dI
d
=
H
,
(5.24)
Так как поток излучения H постоянен в фотосфере, то интегрирование (5.24) даёт
I
=
H
2
1
+
3
2
.
(5.25)
Здесь мы воспользовались граничным условием: 2I=H при =0.
Считая, что величина I равна полной интенсивности излучения при термодинамическом равновесии, т.е. I=T/, и выражая полный поток излучения через эффективную температуру Te по формуле
H
=
T
4
e
,
вместо (5.25) находим
T
=
T
4
e
1
2
+
3
4
,
(5.26)
т.е. ранее полученную формулу (4.20).
Таким образом, определяя средний коэффициент поглощения формулой (5.21) и пользуясь приближением Эддингтона, мы приходим к такой же зависимости между температурой и оптической глубиной, как и в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Однако вычислить точно величину мы не можем, так как в формулу (5.21) входит поток излучения H в реальной фотосфере, в которой коэффициент поглощения зависит от частоты. Поэтому средний коэффициент поглощения приходится вычислять приближённо.
Для
1. Будем считать, что поток излучения H равен потоку излучения из абсолютно чёрного тела, т.е. H=B(T) где B(T) — планковская интенсивность при температуре T. Тогда
=
B(T)d
B(T)d
.
(5.27)
2. Возьмём выражение для H, даваемое формулой (5.19). Заменяя в ней I на планковскую интенсивность B(T), находим
H
=-
4
3
1
dB(T)
dT
dT
dr
.
(5.28)
Подстановка (5.28) в (5.21) даёт
=
dB(T)
dT
d
·
1
dB(T)
dT
d
^1
.
(5.29)
Формула (5.29) была предложена Росселандом [2].
3. Примем для H выражение, которое получается в случае, когда коэффициент поглощения не зависит от частоты. Обозначая поток излучения для этого случая через
H
0
,
получаем
=
H
0
H
(5.30)
Формулу (5.30) предложил Чандрасекар [4], табулировавший также величину
H
0
H
.
Мы не будем сравнивать между собой различные способы вычисления величины Отметим только, что вычисления по формулам (5.27) и (5.30) проще, чем по формуле (5.29). Это особенно заметно в случае сложного химического состава, так как в формулы (5.27) и (5.30) члены, соответствующие разным атомам, входят аддитивно. Однако формула (5.29), по-видимому, точнее.
Для примера найдём средний коэффициент поглощения по формуле (5.27) в случае, когда поглощение вызывается атомами водорода.
Пользуясь формулой (5.11) для и формулой (4.2) для B(T), получаем
0
B
(T)
d
=
n
e
n
2^2ekT
33ch(2mkT)^3/^2
2h
c^2
x
x
0
1+2
kT
i=i
1
i^3
exp
kT
<