Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

empty-line/>

_s(Q

₂

⁰ )

_s(Q

₂

  )

^D(n)

(n,Q

₂

⁰

);

D(n)

=

–

⁽⁰⁾

(n)/2

₀

.

(20.7)

Рис. 14.

Диаграммы, используемые при вычислении коэффициента Z^NS_n.

Остается лишь вычислить аномальные размерности (0)NS и (0)(n) . Сначала нужно вывести фейнмановские правила диаграммной техники для операторов N. Они получаются прямым вычислением (см. § 42) и приведены в приложении Д. Затем надо вычислить перенормировочные константы для операторов N. Результат для синглетного случая можно найти в работе [162]. Здесь мы рассмотрим вычисление величин N1…nNS , которым соответствуют диаграммы рис. 14. В фейнмановской калибровке диаграмма рис. 14, а дает

V

_Aij

=i

⁵

g^2

d

^D

k

k

(·k)^n-1

k

(-g)

k⁴(k-p)^2

 

^a,l

t

_a

^il

t

_a

^lj

.

Для того чтобы вычислить перенормировочный множитель Z , достаточно знать расходящуюся часть коэффициента при величине (·p)^n-1

. Будем использовать обозначение a^eff₌b , которое означает, что величины а и b имеют одинаковые расходящиеся части. После стандартных выкладок получаем

V

_Aij

=

ig^2C

_F

_ij

¹

 

₀

dx(1-x)

x

d

^D

l

– 2(

l

+x

p

)

(

l

+x

p

)[·(l+xp]^n-1

(l^2+x(1-x)p^2)^3

.

Расходящаяся часть члена, пропорционального величине (·p)^n-1

легко выделяется и имеет вид

V

_Aij

_eff

=

 

ig^2

_ij

C

_F

₁

 

⁰

dx(1-x)

d^Dl

[l^2+x(1-x)p^2]^3

x

–

2l^2

D

x

^n-1

(

·p)

^p-1

=

g^2

16^2

N

C

_F

2

n(n+1)

(

·p)

^n-1

_ij

.

(20.8)

Вклад

диаграммы рис. 14, б описывается выражением

V

_Bij

=

– i^3g^2C

_F

_ij

x

d

^D

k

{

_n-2

^l=0 (·p)^l[·(p+k)]^n-l-2(

p

+

k

)

k^2(k+p)^2 

.

Здесь также необходимо найти коэффициент при величине (·p)^n-1

. Повторяя ту же процедуру, получаем

V

_Bij

_eff

=

 

2ig^2C

_F

_ij

¹

 

₀

dx

d

^D

q

_n-2

^l=0 (·p)^l[·q+x·p]^n-1-l

(q^2+x(1-x)p^2)^2

_eff

=

 

– 2

g^2N

16^2

C

_F

_ij

(

·p)

^n-1

¹

 

₀

dx

_n-1

^l=1

x

^l

=

g^2

16^2

N

C

_F

_ij

– 2

_n

^l=2

1

l

(

·p)

^n-1

.

(20.9)

Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перенормировочному коэффициенту Z_F . Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности y _NS , необходимо добавить вклады от контрчленов, обеспечивающие конечность выражения Z_nZ^{– 1}_FN . Таким образом, используя значение перенормировочного множителя Z_F , вычисленное в § 9, находим