Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

₁

…q

_n

q^2

ⁿ

+

члены, содержащие свертки.

(19.12)

Таким образом, выражение (19.10) принимает вид

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

(2)^3

 

^{n четн}

2

ⁿ

A

_n

^NS

q^2

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

1

i

C

_n

^2NS

(z^2)(q·p)

ⁿ

=

1

2

(2)^3

 

ⁿ

четн

(2)

ⁿ⁺¹

A

_n

^NS

q^2

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

1

i

C

_n

^2NS

(z^2)

(19.13)

Известно, что в случае свободных полей коэффициенты Cⁿ_2NS(z^2) обладают следующим поведением (см. § 18):

i

C

_n

^2NS

(z^2)

_g=0

 

=

^{z^2->0}

1

^2(z^2-i0)

.

(19.14)

Поэтому в импульсном пространстве введем новые коэффициенты

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4)

4(Q^2)

ⁿ⁺¹

q^2

ⁿ

d

⁴

z e

^iq·z

1

i

C

_n

^2NS

(z^2).

(19.15)

В результате получим следующее окончательное выражение:

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

2

1

xⁿ⁺¹

A

_n

^NS

C

_n

^2NS

(Q^2/^2,g^2/4);

A

(2)^3

A

.

(19.16)

Как будет показано ниже, асимптотическая свобода КХД позволяет вычислить вильсоновские коэффициенты C, входящие в выражение (19.16).

Но в общем случае коэффициенты A представляют собой неизвестные константы. Чтобы получить из выражения (19.16) физическую информацию, необходимо иметь возможность выделять вклады отдельных слагаемых в этом выражении. Этого можно добиться, используя известные аналитические свойства величины T и записав дисперсионное соотношение ³²⁾ для T₂ по переменной при фиксированном значении Q^2:

³² В принципе при записи дисперсионных соотношений необходимо вычесть содержащиеся в них расходимости. Однако, как легко видеть, при условии сходимости выражения (19.19) это требование не вносит каких-либо изменений в изложенную здесь схему. О дисперсионных соотношениях см., например, в книге [104].

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

1

 

_Q^2/2

d'

'-

ImT

_2NS

Q^2

2'

,Q^2;g,

–

_Q^2/2

 

_–

d'

'-

ImT

_2NS

Q^2

2'

,Q^2;g,

.

(19.17)

Это соотношение можно связать с физическими структурными функциями только в том случае, если оно обладает определенной четностью по отношению к замене q->– q, т.е. является либо четной, либо нечетной функцией переменной q. Таким поведением величина ₂ обладает, например, в процессах электророждения. В этом случае она является четной функцией переменной x , т.е. ₂(x,…)=₂(-x,…). Производя замену переменных '->x'=Q^2/2' , перепишем соотношение (19.17) в виде

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=

1

¹

 

₀

dx'

x'(1-x'^2/x^2)

Im

_2NS

(x',Q^2;g,) .

Разложив в ряд по степеням x'/x , получим [77]

T

_2NS

(x,Q^2;g,)

=2

 

ⁿ

1

xⁿ

_2NS

(n+1,Q^2;g,),

(19.18)

где моменты _2NS определены соотношениями

_2NS

(x,Q^2;g,^2)=

¹

 

₀

dx'x'

^n-2

f

_2NS

(x',Q^2;g,) ,

(19.19)

сравнивая которые с (19.16), сразу получаем выражение для моментов

_2NS