Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

⁰ )/4

1+_1s(Q

₂

  )/4₀

1+_1s(Q

₂

⁰ )/4₀

^p(n)

x

_NS

(n,Q

₂

⁰

);

p(n)

=

1/2

₍₁₎

^NS

(n)/

₁

–

₍₀₎

^NS

(n)/

₀

.

(21.10)

Для

синглетного случая возникают некоторые дополнительные трудности. Нужно начать с определения матрицы C⁽¹⁾(n), имеющей матричные элементы C⁽¹⁾₁₂(n)=C⁽¹⁾_V(n) , C⁽¹⁾₁₁(n)=C⁽¹⁾_F(n) ,

C

₍₁₎

²¹

(n)=

D₂₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) ,

C

₍₁₎

²²

(n)=C

₍₁₎

¹¹

(n)+

D₂₂(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) .

Если принять такое определение, то матрицы C⁽¹⁾ и D коммутируют. Введем обозначения для _s(Q^2) и ₀ для _s(Q^2₀) . Тогда уравнения для моментов в синглетиом случае принимают вид [149]

(n,Q^2)

=

C

(n,)

C

^{– 1}

(n,

₀

)

M

(n;,

₀

)

(n,Q^2

₀

) ,

(21.11)

где введены обозначения C=1+C⁽¹⁾/4; ,

R

(n,,

₀

)=1-

– ₀

4

·

 

¹

2

₂

⁰

⁽⁰⁾

(n)+

(n,

₀

) ,

(n,,

₀

)

=

– 3

32

·

₀

4

^r

 

₀

d

r' e

^{– 3₀r'/16}

[

M

⁰

(n,r')]

^{– 1}

⁽¹⁾

(n)

M

⁰

(n,r') ,

M

(n,,

₀

)

=

₀

^D(n)

 

 

R

(n,,

₀

) ,

r

=

16

3₀

log

₀

,

M

(n,r')

=

e

^{– 3r'(0)(n)/32}

.

Уравнение

для моментов в синглетном случае можно переписать в другом виде, более удобном в некоторых приложениях. Пусть матрица S_n диагонализует матрицу D_n :

S

^{– 1}

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D

(n)

d

₊

(n)

0

0

d

_–

(n)

, d

₊

(n) > d

_–

(n) .

Ее можно выбрать так, чтобы det S=S₁₁=1 ; тогда матрица S имеет вид

S

(n)=

1

D₁₂(n)

d_– (n)-d₊(n)

d₊(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

d_– (n)-D₁₁(n)

d_– (n)-d₊(n)

.

(21.12)

Определим величину как результат преобразования матрицы ⁽¹⁾ под действием матрицы S :

S

^{– 1}

(n)

⁽¹⁾

(n)

S

(n)

=

(n) .

(21.13)

Тогда получим

^D(n)

1+

4

(n)

S

^{– 1}

(n)

C

^{– 1}

(n,)

(n,Q^2)