Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

³⁸⁾ В общем случае необходимо перейти к пределу Q^1->2 для устранения имеющейся в вильсоновских коэффициентах остаточной зависимости от взаимодействия кваркое и глюонов.

Такими свойствами обладают несинглетные операторы при n=1 и синглетные операторы при n=2. Других операторов с указанными свойствами не существует, так как аномальные размерности _NS (и собственные значения матрицу) обращаются в нуль только для приведенных значений n. Поэтому, по крайней мере в принципе, можно вычислить абсолютные значения (а не только зависимость от переменной Q^2) интегралов

¹

 

₀

dx x

^{– 1}

f

_NS

(x,Q^2),

¹

 

₀

dx

f(x,Q^2).

(23.1)

Это

оказывается практически осуществимым только в некоторых довольно редких случаях, когда интегралы (23.1) удается связать с наблюдаемыми величинами, о которых имеются экспериментальные данные. При этом возникают правила сумм, многие из которых уже были открыты с помощью партонной модели. Эти правила сумм в рамках квантовой хромодинамики получили статус точных утверждений. Здесь мы рассмотрим некоторые типичные примеры.

Начнем с рассмотрения несинглетного случая. Для структурных функций f^NS_2,3 соответствующие операторы при n=1 представляют собой комбинации величин

N

_±

^NS

= 1/2 i:

q

(1±

₅

)q:,

которые в действительности генерируют преобразования киральной симметрии (§ 10). Как и ожидалось, аномальные размерности этих операторов равны нулю: ⁽⁰⁾_NS(1)=^(1)-_NS(0). Для процессов электророждения с участием кварков трех ароматов u, d и s (в случае кварков четырех ароматов разбиение несколько изменяется), используя сокращенные обозначения, получаем

iTJ

^em

(z)J

^em

(0)

_NS

^pp;n=1

 

=

^{z^2->0}

1

3

C

₁

^2NS

(z^2)J

_em

(0) ,

или точнее

1

i

A

₁

^2NS

P

=p|J

^em

(0)|p=2(2)

^{– 3}

p

Q

_N

,

где Q_N– заряд мишени в долях заряда электрона. Таким образом, учитывая поправки второго порядка теории возмущений, получаем

¹

 

₀

dx x

^{– 1}

f

_NS

²

(x,Q^2)=

1

3

Q

_N

1+

13+8(3)-^2

33-2n_f

·

_s(Q^2)

3

.

(23.2)

Аналогично

в случае рассеяния нейтрино правило сумм Адлера справедливо при любых значениях квадрата 4-импульса Q^2 :

¹

 

₀

dx x

^{– 1}

{f

_p

²

– f

_p

²

}=2.

(23.3)

Соответствующим оператором здесь является оператор изоспина.

Поправок к уравнению (23.3) не возникает, так как его можно связать с одновременным коммутатором алгебры токов (см. § 10 и работу [6]). В процессах электророждения благодаря четности структурной функции f₂ соответствующие поправки приводят к неравенству ⁽¹⁾⁺_NS/=0. Обсуждение этого вопроса см. в статье [194].

Структурная функция f₃ удовлетворяет правилу сумм Гросса-Лавеллин-Смита [158]

¹

 

₀

dx x

^{– 1}

f

_I

³

(x,Q^2)=3

1+

_s(Q^2)

+O(

₂

^s

)

.

(23.4)

Другие правила сумм, которым удовлетворяют несинглетные структурные функции, можно найти в обзоре [55] (см. также [27]).

Обратимся теперь к синглетным структурным функциям. В этом случае сохраняющиеся операторы отвечают значению n=2. Этот факт находит свое отражение в равенствах det ⁽⁰⁾(2)=det ⁽¹⁾(2)=0. Поскольку синглетные структурные функции всегда четные, нет необходимости различать величины ⁽¹⁾⁺ и ^(1)- , так как всюду входит только одна из них ^(1)+(1). В самом деле [149],

⁽⁰⁾

(2)

=

1

9

64

– 12n

_f

– 64

12n

_f

,

(23.5 а)

⁽¹⁾

(2)

=

1

243

65[367-39n

_f

]

– 3666n

_f

– 64[367-39n

_f

]

3666n