Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

§ 9. Гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила

В этой главе мы изучали простой гармонический осциллятор и системы, которые могли быть сведены к совокупности таких осцилляторов. Однако осцилляторы, которые до сих пор рассматривались, были свободными, т.е. они ни с чем не взаимодействовали и на них не действовала никакая сила. Теперь нужно обобщить наше рассмотрение, включив в него такие линейные системы, которые взаимодействуют с другими объектами или движутся под действием внешних сил. Примерами такого рода могут быть многоатомные молекулы в переменных внешних полях: сталкивающиеся многоатомные молекулы; кристаллы, через которые проходят электроны и возбуждают моды колебаний осцилляторов; наконец,

любые другие взаимодействия мод с внешними полями. Мы не будем здесь обсуждать проблему взаимодействия в общем случае; вместо этого рассмотрим как образец один из примеров взаимодействия атомных систем и зарядов с электромагнитным полем. Обобщение этого примера выполним в следующей главе. Другие случаи могут быть проанализированы аналогичным образом.

Все эти проблемы включают в себя два аспекта: 1) разложение поля на совокупность независимых осцилляторов; 2) взаимодействие каждого из таких осцилляторов с внешним потенциалом или с другими системами. Разложение поля на совокупность независимых осцилляторов уже было подробно рассмотрено нами в этой главе.

Чтобы быть готовым к рассмотрению проблемы в целом, остаётся только исследовать поведение отдельного осциллятора под действием внешнего потенциала. Полное рассмотрение проблемы будет дано в следующей главе.

Для начала вернёмся несколько назад к изучению отдельного гармонического осциллятора, но будем учитывать его линейное взаимодействие с некоторым внешним потенциалом (возмущений). Лагранжиан для такой системы запишем в виде

L

=

M

2

x^2

–

M^2

2

x^2

–

(t)x

,

(8.136)

где (t) — внешняя сила. Для удобства примем, что эта сила действует только в интервале времени от t=0 до t=T, так что осциллятор является свободным как в начальном состоянии при t=0, так и в конце при t=T. Подобная задача была уже нами полностью решена, когда в задаче 3.11 мы вычисляли амплитуду K(b,a) вероятности перехода осциллятора из точки x_a в момент времени t=0 в точку x_b в момент t=T. Но для нас сейчас была бы необходима амплитуда перехода G_mn для осциллятора, который первоначально находился в состоянии n, а затем в момент T оказался в состоянии m. Такой подход часто оказывается более удобным, чем координатное рассмотрение.

В § 1 мы определили волновые функции _n для свободного гармонического осциллятора, а в задаче 3.11 вычислили ядро, описывающее вынужденное движение гармонического осциллятора. Исходя из этого, можно определить амплитуду G_mn прямыми подстановками в выражение

G

_mn

=

e

^(i/h)E_mT

^–

^–

_m

(x

_b

)

K(x

_b

,T;x

_a

,0)

_n

(x

_a

)

dx

_a

dx

_b

.

(8.137)

Для случая m=n=0 этот интеграл будет гауссовым, несколько утомительным в оценке, но не представляющим никаких особых трудностей. В результате получим

G

₀₀

=

exp

–

1

2mh

_T

⁰

_t

⁰

(t)

(s)

e

^{– i(t-s)}

ds

dt

.

(8.138)

Если m

и n не равны нулю, то интеграл оказывается несколько более сложным. Однако можно использовать тот же способ, который мы уже применяли в задаче 8.1. Попытаемся найти амплитуду вероятности перехода вынужденного гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила, из состояния f в состояние g, если эти состояния соответствуют условиям задачи 8.1. Искомая амплитуда будет равна

F(b,a)

=

^m=0

ⁿ⁼⁰

G

_mn

f

_*

^m

(b)

f

_n

(a)

e

^{– iE_mT/h}

=

=

^m=0

ⁿ⁼⁰

G

_mn

exp

–

M

4h

(a^2+b^2)

x

x

aⁿb^m

m!n!

M

2h

(m+n)/2

e

^{– iT/2}

,

(8.139)

где M — масса частицы [см. выражение (8.28)]. Если мы сможем вычислить этот функционал, то получим G_mn, умножая F(b,a) на exp[(M/4h)(a^2+b^2)] и разлагая полученное выражение в ряды по степеням a и b. Поэтому нам удобнее сперва вычислить

F(b,a)

=

^–

^–

exp

–

M

2h

(x

₂

– b)^2

x

x

K(x

₂

,T;x

₁

,0)

exp

–

M

2h

(x

₁

– a)^2

dx

₁

dx

₂

,

(8.140)

где K(x₂,T;x₁,0) — ядро, описывающее гармонический осциллятор под действием внешней силы [см. (3.66)]. Переменные интегрирования здесь появляются только как квадратичные величины в экспоненте подынтегрального выражения, так что все интегрирование легко может быть выполнено. После некоторых простых, но довольно утомительных алгебраических преобразований получаем

F(b,a)

=

exp

–

M

4h

(a^2+b^2-2abe