Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
e
i
/r
i
.
i
Именнов этом и заключается смысл уравнения (9.10).
Уравнение (9.3), которое нужно ещё решить, запишем в виде
ikxB
k
=
1
c
E
k
+
1
c
4
j
k
.
(9.18)
При этом учтём, что ikxBk = -4ckx(kxak) = 4ck^2ak
a
k
+
k^2c^2
a
k
=
4
j
k
–
ikk
k^2
=
4
j'
k
,
(9.19)
где величину j'k = jk– ikk/k^2 можно назвать поперечной частью тока jk. Из закона сохранения тока (9.6) следует, что k=-ik·jk, поэтому
j'
k
=
j
k
–
k(k·jk)
k^2
.
(9.20)
Последнее равенство означает, что j'k равно разности тока jk и его компоненты по направлению вектора k. Очевидно, k·j'k=0.
Мы, безусловно, существенно упростили уравнения Максвелла, и если не считать мгновенного кулоновского взаимодействия между частицами, то для каждого значения вектора k вся картина свелась к уравнениям для двух поперечных волн. Амплитуда колебаний каждой волны описывается гармоническим осциллятором, на который действует сила, равная компоненте тока по соответствующему направлению. Другими словами, если выбрать два направления, перпендикулярных вектору k, и обозначить компоненты ak по этим направлениям как a1k и a2k, то уравнения Максвелла запишутся в виде
a
1k
+
k^2c^2
a
1k
=
4
j
2k
,
(9.21)
a
2k
+
k^2c^2
a
2k
=
4
j
2k
,
(9.22)
где j1k и j2k — компоненты вектора тока jk по соответствующим направлениям (спрашивается, почему можно говорить о компонентах вектора jk, а не вектора j'k).
Принцип наименьшего действия. В квантовой электродинамике 1) предполагается, что описываемые уравнениями (9.21) и (9.22) осцилляторы являются квантовыми. Чтобы выполнить квантование, нужно записать принцип наименьшего действия,
S
=
S
1
+S
2
+S
3
.
(9.23)
1) Следует указать, что ряд физиков применяет термин «квантовая электродинамика» в более широком смысле, включая в это понятие теорию электрон-позитронных пар. Мы не занимаемся этой проблемой и поэтому слова «квантовая электродинамика» означают здесь просто теорию квантования электромагнитного поля.
Здесь
S
1
=
i
mi
2
|q
i
|^2
dt
(9.24)
— действие для всех частиц без учёта поля (если между частицами действуют и другие силы, кроме электромагнитных, их также следует включить в действие S1);
S
2
=
(R,t)
(R,t)
–
1
c
j(R,t)
·
A(R,t)
d^3R
dt
=
=
i
e
i
(q
i
(t),t)
–
1
c
q
i
(t)
·
A(q
i
(t),t)
dt
(9.25)
— действие, описывающее взаимодействие поля и частиц;
S
3
=
1
8
(E^2-B^2)
d^3R
dt
=
=
1
8
– -
1
c
A
t
^2
–
|xA|^2
d^3R
dt
(9.26)
— действие свободного поля. В этих выражениях нужно варьировать функции A(R,t), (R,t) и qi(t).
Задача 9.4. В § 1 гл. 2 мы обсуждали вывод уравнений движения классической механики из условия экстремальности действия (S=0 с точностью до первого порядка в разложении по q). Покажите, что уравнения Максвелла можно вывести с помощью действия, заданного выражением (9.23), если потребовать выполнения условия S=0 в первом порядке вариаций по переменным A и .
Так как уравнения электродинамики имеют наиболее простой вид в переменных ak, то удобно выразить и действие в этих переменных. Подстановка формулы (9.14) в выражение для действия S3 даёт
S
3
=
1
2
a
k
+
ik
k
4
– c^2
|kxa
k
|^2
^2
d^3kdt
(2)^3