Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
=
=
1
2
2
k
k^2
4
+
a
*
k
·
a
k
–
k^2c^2
a
*
k
·
a
k
d^3kdt
(2)^3
,
(9.27)
а действие S2 при этом
S
2
=
(
– k
k
–
4
j
– k
·
a
k
)
d^3kdt
(2)^3
.
(9.29)
После подстановки в эти выражения фурье-образа потенциала k=4k/k^2 члены, содержащие k, дают в сумме
S
c
=-
4
2
k– k
k^2
d^3k
(2)^3
=-
1
2
i
j
eiej
|qi– qj|
.
(9.29)
Здесь мы воспользовались формулой (9.16), а также значением интеграла (4/k^2)[exp(ik·R)]d^3k=1/R. Выражение (9.29) в точности соответствует кулоновскому взаимодействию зарядов в том виде, как оно обычно применяется при рассмотрении атома, когда пренебрегают электромагнитным излучением.
Включим его в функцию действия для частиц
S
част
=
S
1
+
S
c
=
i
mi
2
q
2
i
–
1
2
j
eiej
|qi– qj|
(9.30)
и запишем S=Sчаст+Sвзаим+Sполе. Таким образом мы разделили действие S3 для электромагнитного поля на две части. Одна из них описывает вклад, обусловленный мгновенным кулоновским взаимодействием; оставшуюся часть назовём действием Sполе, которое соответствует полю излучения (учёт излучения обеспечивает все поправки к мгновенному полю, например поправки, связанные с запаздыванием суммарного воздействия электромагнитного поля и поправки на скорость распространения этого взаимодействия, которая не превышает скорости света). Действие, соответствующее полю излучения, получится, если из функции действия S3 выбросить
S
поле
=
(
a
*
1k
a
1k
–
k^2c^2
a
*
1k
a
1k
+
a
*
2k
a
2k
–
k^2c^2
a
*
2k
a
2k
)
d^3kdt
(2)^3
,
(9.31)
а это не что иное, как действие, описывающее осцилляторы поля излучения. Действие, обусловленное взаимодействием этих осцилляторов с частицами, равно
S
взаим
=
4
(
j
1,-k
a
1k
+
j
2,-k
a
2k
)
d^3kdt
(2)^3
.
(9.32)
Простая вариация полного действия S по переменным a1k и a2k даёт уравнения движения (9.21) и (9.22).
В развёрнутом виде действие Sвзаим записывается так:
S
взаим
=
4
j
(
a
1k
q
1j
+
a
2k
q
2j
)
e
ik·qj(t)
d^3kdt
(2)^3
,
(9.33)
где q1j и q2j — поперечные (по отношению к вектору k) компоненты вектора qj. Таким образом, все законы нерелятивистской механики и классической электродинамики получаются из требования, чтобы действие S, представленное суммой выражений (9.30), (9.31) и (9.33), оставалось неизменным при вариациях вдоль траекторий, заданных переменными qj(t), a1k(t), a2k(t). Переход к квантовой электродинамике осуществляется путём интегрирования по этим траекториям экспоненты eiS/h и рассматривается в § 2.
§ 2. Квантовая механика поля излучения
Наше рассмотрение мы начнём с квантовой механики поля излучения в пустом пространстве. В условиях вакуума полное действие содержит лишь часть, связанную с полем излучения
S
=
S
поле
(9.34)
которая имеет вид (9.31) и, очевидно, соответствует действию S для совокупности гармонических осцилляторов. В гл. 8 уже рассматривался ряд примеров с выражениями типа (9.31).