Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

 

ⁿ _n(Q_i) *_n(Q'_i) e^{– E_n} ,

т.е. на матрицу плотности (Q_i,Q'_i) выведенную в § 1 гл. 10. Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми.

причём G определяется равенством (8.138), а * равенством (8.143) с заменой (t) на Cq(t). Аналогично интеграл по Q является комплексно-сопряжённой величиной для такого же выражения, где (t) следует лишь заменить на Cq'(t).

Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам

E(q,q')

=

 

^m

G

_m0

G

'*

m0

=

 

ⁿ

(m!)

^{– 1/2}

(i*)

^m

G

₀₀

(m!)

^{– 1/2}

(-i')

^m

G'

₀₀

=

=

G

₀₀

G'

₀₀

e

^*'

.

(12.119)

Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу F типа (12.104), но при этом

(t,t')

=

C^2

2

e

^{– i(t,t')}

.

(12.120)

Например, члены с qq' в выражении (12.104) получаются прямо из члена *' в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая даёт

C^2

2

q(t)

e

^it

dt

q'(t)

e

^{– it}

dt

=

=

C^2

2

_t

 

[

q(t)

q'(t')

e

^i(t-t')

+

q'(t)

q(t')

e

^i(t-t')

]

dt'

dt

.

(12.121)

Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина a равна

a

=

C^2

2

⁰

e

^{– it}

e

^{– it}

dt

=

C^2

2

– i

PP

1

+

+

(+)

(12.122)

[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть

a

_R

=

C^2

2

(+)

.

(12.123)

Для положительных

эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).

Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции a_R складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это — следствие того, что для отрицательных любую функцию a_R можно построить из -функций в форме (12.123).

Другой интересный пример — это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна T, то начальное состояние — это состояние n с относительной вероятностью e^{– E_n/kT}. В нашем случае абсолютная вероятность

w

_n

=

e

^{– nh/kT}

(1-e

^{– h/kT}

)

.

(12.124)

Если бы начальным было состояние n, то функционал влияния имел бы вид

F

_n

=

 

^m

G

_mn

G

'*

mn

,

(12.125)

а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами w_n, так что окончательное выражение для функционала F равно

F

=

 

^m,n

G

_mn

G

'*

mn

e

^{– nh/kT}

(1-e

^{– h/kT}

)

.

(12.126)

Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145). Она равна

F

=

G

₀₀

G'

₀₀

e

^*'

exp

–

(-')(*-'*)

e^h/kT– 1

.

(12.127)

Вместо (12.123) для a_R получается выражение

a

_R

=

C^2

2

e^h/kT

e^h/kT– 1

(+)

+

1

e^h/kT– 1

(-)

,

(12.128)

а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (<0), так и к большим энергиям.

Заметим, что если >0, то обратится в нуль первая -функция, тогда как при <0 равна нулю вторая -функция; кроме того, как и следовало ожидать,