Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
q'(t')
+
+
(t,t')
q(t)
q'(t')
+
(t,t')
q'(t)
q(t')
]
dt
dt'
,
(12.102)
составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от q(t) при произвольных значениях q(t') в области t>a и q'(t') в области t'<a. Для этого необходимо, чтобы
(t,t')
=-
(t,t')
,
(t,t')
=-
(t,t')
(12.103)
до
Отсюда следует, что самый общий гауссов функционал влияния зависит только от одной комплексной функции (t,t') и выражается в форме
exp
–
t
[q(t)-q'(t)]
[
q(t')(t,t')
–
q'(t')*(t,t')
]
dt
dt'
.
(12.104)
В случае когда (t,t') — действительная функция, например, равна A(t,t'), наш функционал эквивалентен экспоненциальному фактору в выражении (12.87), и мы получаем эквивалент классического шумового возмущения. Вообще говоря, в квантовомеханических системах — комплексная величина. Важным частным случаем является функция , зависящая только от разности t и t: (t,t')=(t-t'). В этом случае мы имеем дело с окружающей системой, усреднённые свойства которой не зависят от абсолютного времени.
Чтобы облегчить понимание некоторых свойств выражения (12.104), найдём вероятность того, что система q переходит из энергетического состояния n в некоторое другое ортогональное состояние m за время T. Предположим, что очень мало и можно использовать теорию возмущений. Если разложить F, определяемый выражением (12.104), то главный член обратится в нуль из-за ортогональности состояний. Следующий член, линейный по , состоитиз четырёх частей. Одна из них это
t
(t,t')
q(t)
q(t')
dt'
dt
.
Если подставить её вместо F в выражение (12.89) и вычислить, как в (12.83) при =n и =m, то видно, что интеграл по Dq(t) и Dq'(t) разбивается на произведение двух сомножителей. Первый интеграл по q имеет вид
e
iS[q]
t
(t,t')
q(t)
q(t')
dt'
dt
Dq(t)
и представляет собой матричный элемент
m
–
t
(t,t')
q(t)
q(t')
dt'
dt
n
=
=
–
t
m
q(t)
q(t')
n
(t,t')
dt'
dt
(12.105)
(см.
P(n->m)
=
t
[
(t,t')
m
q(t)
q(t')
n
m
1
n
–
–
*(t,t')
m
1
n
m
q(t)
q(t')
*
n
+
*(t,t')
m
q(t)
n
m
q(t')*
n
+
+
(t,t')
m
q(t)*
n
m
q(t')
n
]
dt'
dt
.
(12.106)
Если состояния m и n ортогональны, то m1n=0; если же действие S[q] соответствует постоянному гамильтониану с энергетическими уровнями Ek, то
m
q(t)
n
=
q
mn
e
– i(Em– En)t
(12.107)
В выражении (12.106) остаются только два последних члена, комплексно сопряжённых друг с другом, так что
P(n->m)
=
2Re
t
(t,t')
e
– i(Em– En)(t-t')
dt'
dt
.
(12.108)
Задача 12.3. Проверьте, что для m=n в соответствии с законом сохранения вероятности
P(m->m)
=
1-
n
P(m->n)
Для однородной по времени среды (t,t')=(t-t'). Предположим, что мы определили преобразование Фурье
a
=
0
e
–
d
(12.109)
<