Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
[t не определена для t<0]. Так как вероятность, задаваемая формулой (12.108), пропорциональна интервалу времени, на который распространяются интегралы, то можно определить скорость перехода за 1 сек и вероятность перехода
P(n->m)
за 1 сек
=
2a
R
(E
m
– E
n
)
|p
nm
|^2
,
(12.110)
где
a
=
a
R
+
ia
I
.
(12.111)
Можно отметить также, что для возмущения, вызываемого классическим потенциалом, соответствующим гауссову шуму, — действительная функция [см. (12.87)1, а действительная часть является спектральной функцией мощности шума, определённой соотношением (12.32). Следовательно, для таких классических шумовых систем
a
R
=
a
R
(-)
(12.112)
и в первом порядке по возмущению
[скорость перехода n->m]
=
[скорость перехода m->n]
.
(12.113)
Обе скорости пропорциональны мощности P при значении , равном частоте перехода. Таким образом, классические потенциалы с равной вероятностью вызывают переходы вверх и вниз.
Другой интересный пример представляет среда, которая не может с какой-либо заметной вероятностью возмещать энергию. Например, если первоначально она находится в основном состоянии или при нулевой температуре. Мы назовём такую среду «холодной». В этом случае переходы системы q с возрастанием энергии (Em– En) маловероятны. Следовательно, для систем в холодной среде
a
R
при
>0
(12.114)
и в первом порядке по возмущению
[скорость перехода n->m]
=0, если E
m
– E
n
.
(12.115)
Так как любая функция a может быть представлена суммой двух величин [величины, определяемой соотношением (12.112), и величины, определённой в (12.114)], то очевидно, что любой не зависящий от времени гауссов функционал эквивалентен системе в холодной среде, подвергающейся воздействию флуктуирующего классического потенциала, описываемого гауссовым выражением. Этот вывод следует из правила IV и того факта, что произведение двух гауссовых функций тоже есть гауссова функция. Если воздействие одной среды на систему представляется функцией A1(t,t'), как это сделано в соотношении (12.87), а воздействие другой среды — аналогичной функцией A2(t,t'), то единственный член взаимодействия в парциальном результирующем гауссовом функционале равен A1+A2.
§ 9. Функционал влияния гармонического осциллятора
Ниже мы дадим пример того, как из
S
0
(Q)
=
1
2
[
Q(t)^2
+
^2Q(t)^2
]
dt
.
(12.116)
Тогда
F[q(t),q'(t)]
=
m
exp
i
1
2
Q(t)^2
+
1
2
^2Q(t)^2
+
+
Cq(t)
Q(t)
dt
exp
– i
1
2
Q'(t)^2
+
1
2
^2Q'(t)^2
+
+
Cq'(t)
Q'(t)
dt
DQ(t)
DQ'(t)
,
(12.117)
где m — конечное состояние, а первоначальным является основное состояние. Легко видеть, что интеграл по Q гауссов, и фактически мы уже вычисляли его. Он точно совпадает с амплитудой перехода Gm0, полученной в § 9 гл. 8 для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила. Сила, обозначенная там через (t), здесь равна Cq(t) 1). Поэтому амплитуда определяется выражением (8.145) при n=0:
G
m0
=
(m!)
– 1/2
(i*)
m
G
00
,
(12.118)
1) Возможно, для читателя будет предпочтительнее представить выражение (12.117) в форме F[q(t),q'(t)] = dQf K(Qf,tf;Qiti) K'*(Qf,tf;Q'iti) 0(Qi) *0(Q'i) dQi dQ'i ,
где K — ядро вида (3.66) для осциллятора, движущегося под действием внешней силы f(t)=Cq(t), а K' — аналогичное ядро для f(t)=Cq'(t); 0(Q) — волновая функция осциллятора в основном состоянии. Тогда все переменные Qi, Q'i и Q'f входят в простой гауссовой форме и интегрирование можно выполнить непосредственно. Очень просто рассмотреть случай конечной температуры. При этом вероятность обнаружить систему в начальном состоянии n пропорциональна e– En, так что, согласно правилу IV, окончательное выражение функционала F найдём, если в полученном выше выражении волновые функции (Qi) *(Q'i) заменить на const