Квантовая механика и интегралы по траекториям, Фейнман Ричард Филлипс

Квантовая механика и интегралы по траекториям

на обложку

Фейнман Ричард Филлипс

Шрифт:

1) См. работу[4].

Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ x(t) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат.

В качестве первого примера мы рассмотрим трёхмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями x(t), y(t) и z(t). В частности, для свободной частицы действие равно

[x(t)^2+

y(t)^2+

z(t)^2]

dt.

Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (xa, ya, za)

в момент времени ta в конечную точку (xb, yb, zb) и момент времени ta,

, y

, z

, t

;

, y

, z

, t

exp

(x^2+

y^2+

z^2)

Dx(t)Dy(t)Dz(t).

(3.69)

Дифференциал здесь записан в виде Dx(t)Dy(t)Dz(t). Если время разделено на промежутки , то положение частицы в момент времени ti задаётся тремя переменными xi, yi, zi и интеграл по переменным dxi, dyi, dzi для каждого значения i имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором r в некотором s-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объёма dvi или dsri, и произведение дифференциалов для каждого i мы можем записать в более общем виде Dsri.

Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введён нормировочный множитель A [см. формулу (2.21)]. Поэтому если весь интервал времени разделён на N промежутков длительностью , то в интеграл должен быть включён множитель A– 3N.

Ещё один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой m, координата которой x, а другая система — частицу массой M и с координатой X. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потенциала V(x,X). Действие в этом случае равно

S[x(t),X(t)]=

x^2+

X^2-

V(x,X)

dt,

(3.70)

так что ядро имеет вид

, X

, t

;

, X

, t

exp

S[x(t),X(t)]

Dx(t)DX(t).

(3.71)

Это

обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве x, X. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно x и X. Тогда K является ядром для перехода частицы массы m из пространственно-временной точки (xa,ta) в точку (xb,tb) и частицы массы M из точки (Xa,ta) в точку (Xb,tb). Ядро K равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможным траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками. Амплитуда вероятности, отвечающая какой-либо частной комбинации траекторий (т.е. определённым x и X), равна экспоненте eiS/h, где S — действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных x и X, и интеграл берётся по обеим этим функциям.

§ 8. Системы с разделяющимися переменными

Допустим, что у нас имеются две частицы, которые движутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор x — совокупность координат одной частицы, а вектор X — совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трёхмерное пространство). Может оказаться, что полное действие разбивается на две части:

S[x,X]=

[x]+

[X],

(3.72)

где в Sx входят только траектории x(t), а в SX — только траектории X(t). Это и есть тот случай, когда две частицы не взаимодействуют.

При этом ядро становится произведением двух сомножителей: одного, зависящего только от x, и другого, зависящего только от X:

, X

, t

;

, X

, t