Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Задача 3.8. Лагранжиан гармонического осциллятора
L=
m
2
x^2-
m^2
2
x^2.
(3.58)
Покажите, что соответствующее ядро равно
K=F(T)=
im
2h sin T
[(x
2
a
+x
2
b
) cos T-2x
a
x
b
]
,
(3.59)
где T=tb– ta (см.
F(T)=
m
2ih sin T
1/2
.
(3.60)
Задача 3.9. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле f, где её лагранжиан равен
L=
m
2
x^2+fx.
(3.61)
Результат имеет вид
K=
m
2ihT
1/2
exp
i
h
m(xb– xa)^2
2T
+ 1/2 fT(x
a
+x
b
)-
fT^3
24
,
(3.62)
где T=tb– ta.
Задача 3.10. Лагранжиан для частицы с зарядом e и массой m в постоянном внешнем магнитном поле B, направленном по оси z,
L=
m
2
(x^2+y^2+z^2)+
eB
2c
(xy-yx).
(3.63)
Покажите, что соответствующее ядро имеет вид
K=
m
2ihT
3/2
T/2
sin T/2
exp
im
2h
(zb– za)^2
T
+
+
2
ctg
T
2
[(x
b
– x
a
)^2+
(y
b
– y
a
)^2]+
(x
a
y
b
–
x
b
y
a
)
,
(3.64)
где T=tb– ta
Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой f(t). Его лагранжиан
L=
m
2
x^2-
m^2
2
x^2+
f(t)x.
(3.65)
Покажите, что ядро определяется выражением
K=
m
2ih sin T
1/2
exp
i
h
S
кл
,
где
S
кл
=
m
2 sin T
(cos T)(x
2
b
+x
2
a
)-2x
b
x
a
+
+
2xb
m
tb
ta
f(t) sin (t-t
a
)dt+
2xa
m
tb
ta
f(t) sin (t
b
– t)dt-
–
2
m^2^2
tb
ta
t
ta
f(t)f(s) sin
(t
b
– t) sin
(s-t
a
)
dsdt
(3.66)
и T=tb– ta.
Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит своё применение в квантовой электродинамике, так как электромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов.
Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при t=0
(x,0)=exp
–
m
2h
(x-a)^2
,
(3.67)
то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что
(x,t)=exp
–
iT
2
–
m
2h
x^2-2axe
– iT
+ 1/2 a^2(1+e
– 2iT
)
(3.68)
и найдите распределение вероятности ||^2.
§ 7. Системы с многими переменными 1)