Квантовая механика и интегралы по траекториям, Фейнман Ричард Филлипс

Квантовая механика и интегралы по траекториям

на обложку

Фейнман Ричард Филлипс

Шрифт:

2ht

d^3r

(6.28)

Через r мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой c, d^3r — произведение дифференциалов всех компонент вектора r. Интегрирование по переменной t даёт

(1)

(b,a)

–

2ihT

5/2

–

exp

2hT

)^2

V(r)

d^3r

(6.29)

где ra=|Ra– r|

и rb=|Rb– r| (см. приложение). Для этих величин мы можем написать

2Ra·r

R^2a

r^2

R^2a

1/2

·r,

(6.30)

2Rb·r

R^2b

r^2

R^2b

1/2

– i

·r,

(6.31)

где ia и ib — единичные векторы соответственно в направлениях векторов Ra и Rb (т.е. ia=-Ra/Ra, где Ra=|Ra|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина Ra намного больше тех расстояний |r|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом V(r).

Члены первого порядка по r необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем

)^2

2(R

)

·r)

–

·r)

(6.32)

Используя эти приближения, ядро K(1)(b,a) можно теперь представить в виде

(1)

(b,a)

–

2ihT

5/2

exp

2hT

)^2

exp

)

·r)

–

·r)

V(r)

d^3r

(6.33)

Физическая

интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени T электрон проходит полное расстояние, равное Ra+Rb. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет u=(Ra+Rb)/T, его энергия равна mu^2/2, а импульс равен mu. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна im[(Ra+Rb)^2/2hT], поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной T, составляет

(Ra+Rb)^2

T^2

(6.34)

Если скорость u определена так, как это сделано выше, то энергия будет равна mu^2/2 [ср. соотношение (3.15)].

Дифференцирование фазы по переменной Ra даёт волновое число в точке a

Ra+Rb

(6.35)

а это значит, что величина импульса равна mu [ср. соотношение (3.12)].

Задача 6.5. Интеграл по переменной t в формуле (6.28) можно аппроксимировать, используя метод стационарной фазы. Рассмотрите этот метод на примере данного интеграла; покажите, что наибольший вклад в интеграл дают значения t из области, близкой к точке t=Ra/u и представляющей собой время, за которое электрон должен был бы достигнуть центра атома, если бы он двигался по классическим законам.

Используя определение скорости электрона u=(Ra+Rb)/T, запишем вектор импульса входящей частицы pa в виде